1. 固有値と固有ベクトル
(1) 固有値と固有ベクトルの定義
- 固有値の定義：$A$ を $n\times n$ 行列とする。$A$ に対し、$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ を満たすスカラー $\lambda\in\mathbb{F}$（$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$）があるとき、$\lambda$ を $A$ の固有値（eigenvalue）という。
- 固有ベクトルの定義：上の式を満たす $\mathbf{v}\neq \mathbf{0}$ を $\lambda$ に対応する固有ベクトル（eigenvector）という。
ここで $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ を除くのは、$A\mathbf{0}=\lambda\mathbf{0}$ が任意の $\lambda$ で自明に成り立ってしまうためである。
(2) 固有値と固有ベクトルの求め方
- 固有方程式：$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ は $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ に同値。非零解 $\mathbf{v}$ をもつための必要十分条件は
$$
\det(A-\lambda I)=0.
$$
この方程式を 固有方程式（特性方程式）と呼び、$p_A(\lambda):=\det(\lambda I-A)$（または $\det(A-\lambda I)$）を 特性多項式 という。 - 手順（概略）
- $\det(A-\lambda I)=0$ を解いて固有値 $\lambda$（重複度込み）を求める。
- 各固有値 $\lambda$ について、連立方程式 $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ を解き、固有ベクトル空間（固有空間）$E_\lambda:=\mathrm{Ker}(A-\lambda I)$ の基底を求める。
(3) 具体例
次の行列を考える：
$$
A=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix}.
$$
- 固有値：
$$
\det(A-\lambda I)=
\det\begin{pmatrix}2-\lambda&1\\[2pt]1&2-\lambda\end{pmatrix}
=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3.
$$
よって固有方程式 $\lambda^2-4\lambda+3=0$ の解は $\lambda=1,3$。 - 固有ベクトル：
- $\lambda=3$ のとき $(A-3I)=\begin{pmatrix}-1&1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix}$。
$-x+y=0$ から $y=x$。代表例として $(1,1)^{\mathsf T}$。 - $\lambda=1$ のとき $(A-I)=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}$。
$x+y=0$ から $y=-x$。代表例として $(1,-1)^{\mathsf T}$。
よって $A$ は互いに直交する固有ベクトル $(1,1)^{\mathsf T},(1,-1)^{\mathsf T}$ をもち、対角化できる。
2. 公式
(1) 固有値の和＝トレース
- 主張：固有値（重複度込み）の和は $\mathrm{tr}(A)$ に等しい。
- 証明（Schur 上三角化／三角行列の性質）：$\mathbb{C}$ 上では任意の正方行列 $A$ はユニタリ行列 $U$ により $U^{-1}AU=T$ と上三角化できる（Schur の定理）。$T$ の対角成分は固有値 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。トレースは相似変換で不変なので
$$
\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(T)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n.
$$
以上。
（別証）特性多項式 $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^n-(\mathrm{tr}A)\lambda^{n-1}+\cdots$ の Viète の公式からも同結論。
(2) 固有値の積＝行列式
- 主張：固有値（重複度込み）の積は $\det(A)$ に等しい。
- 証明：上と同様に $U^{-1}AU=T$（上三角）。三角行列の行列式は対角成分の積なので
$$
\det(A)=\det(T)=\lambda_1\cdots\lambda_n.
$$
あるいは $p_A(0)=(-1)^n\det(A)$ と Viète からも従う。
(3) 転置行列の固有値
- 主張：$A$ と $A^{\mathsf T}$ は同じ固有値（重複度込み）をもつ。
- 証明：$\det(\lambda I-A^{\mathsf T})=\det\big((\lambda I-A)^{\mathsf T}\big)=\det(\lambda I-A)$。よって特性多項式が一致し、固有値も一致。
(4) 逆行列の固有値
- 主張：$A$ が可逆で、$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$（$\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$）なら、$A^{-1}\mathbf{v}=\lambda^{-1}\mathbf{v}$。
- 証明：$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ の両辺に $A^{-1}$ を左から掛けて $A^{-1}A\mathbf{v}=\mathbf{v}=\lambda A^{-1}\mathbf{v}$。ゆえに $A^{-1}\mathbf{v}=\lambda^{-1}\mathbf{v}$。
(5) べき等行列の固有値
- 主張：$A^2=A$（べき等）なら固有値は $0$ か $1$。
- 証明：$A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ に $A$ をもう一度掛けると $A^2\mathbf{v}=\lambda^2\mathbf{v}$。一方 $A^2\mathbf{v}=A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$。よって $(\lambda^2-\lambda)\mathbf{v}=\mathbf{0}$。$\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ なので $\lambda(\lambda-1)=0$、すなわち $\lambda\in{0,1}$。
(6) 固有値が相異なれば可逆（注意つき）
- 主張（注意を加えて明確化）：$A$ の全ての固有値が相異で、かつ $0$ を含まないとき、$A$ は可逆。
（注意）固有値が相異でも $0$ を含めば $\det(A)=0$ で可逆でない。例：$\mathrm{diag}(0,1)$ は固有値が相異だが非可逆。 - 証明：固有値の積が $\det(A)$ に等しい（(2)）。全て相異かつ $0$ を含まないなら積は $0$ でなく、$\det(A)\neq 0$。ゆえに $A$ は可逆。
3. 対角化
(1) 対角化
- 定義：$A$ が対角化可能とは、可逆行列 $P$ と対角行列 $D$ が存在して
$$
A=PDP^{-1}
$$
と表せること。$D$ の対角は固有値、$P$ の列は対応する固有ベクトルからなる。 - 手順
- 固有値を（重複度込みで）求める。
- 各固有値ごとに固有空間 $E_\lambda=\mathrm{Ker}(A-\lambda I)$ の基底を求める。
- 得た固有ベクトルが $n$ 本（線形独立）あれば $P$ をそれらを列に並べて作り、$D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ とする。
- 例：$A=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&2\end{pmatrix}$ の固有値は ${1,3}$、固有ベクトルは $(1,-1)^{\mathsf T},(1,1)^{\mathsf T}$。
$$
P=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]-1&1\end{pmatrix},\quad
D=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&3\end{pmatrix}
$$
従って、
$$
\begin{align}
A &= PDP^{-1} \\
&= \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&-1\end{pmatrix} \\
\end{align}
$$
(2) ジョルダン標準形
- ジョルダン細胞（ブロック）：固有値 $\lambda$ に対する $k$ 次のジョルダン細胞を
$$
J_k(\lambda)=
\begin{pmatrix}
\lambda&1& &&0\\
&\lambda&1&&\\
&&\ddots&\ddots&\\
&&&\lambda&1\\
0&&&&\lambda
\end{pmatrix}
$$
と書く（上超対角に 1、他は 0）。 - ジョルダン標準形：ある可逆 $P$ が存在して
$$
P^{-1}AP=\mathrm{diag}\big(J_{k_1}(\lambda_1),\dots,J_{k_r}(\lambda_r)\big)
$$
となるとき、右辺を $A$ のジョルダン標準形という（$\mathbb{C}$ 上で常に存在）。 - 作り方（概略）：各固有値 $\lambda$ について、$(A-\lambda I)$ の階数落ちから 一般化固有空間 を求め、鎖（チェイン）
$$
(A-\lambda I)\mathbf{v}_1=\mathbf{0},\quad (A-\lambda I)\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1,\quad \dots
$$
を組むと、その鎖が $J_k(\lambda)$ に対応する基底を与える。 - 例（$2\times2$，重根で非対角化）：
$$
A=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]0&2\end{pmatrix}
$$
の固有値は $\lambda=2$（重複 2）。固有空間は $\mathrm{Ker}(A-2I)=\mathrm{span}{(1,0)^{\mathsf T}}$（次元 1）なので対角化不可。
一般化固有ベクトル $\mathbf{v}_2$ を $(A-2I)\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1$（$\mathbf{v}_1=(1,0)^{\mathsf T}$）で求める。例えば $\mathbf{v}_2=(0,1)^{\mathsf T}$。
基底 $P=[\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2]$ によって $P^{-1}AP=J_2(2)$ となる。
(3) 上三角化
- 事実：$\mathbb{C}$ 上で任意の $A$ は相似変換で上三角にできる（Schur）。初学者向けには次の帰納的説明も有効：
- $A$ は少なくとも 1 つの固有値 $\lambda$ を持つ（代数の基本定理）。その固有ベクトル $\mathbf{v}_1$ を含む基底に変えると、$A$ の行列表現は
$$
\begin{pmatrix}
\lambda & * & \cdots & *\\
0 & & & \\
\vdots & & A’ & \\
0 & & &
\end{pmatrix}
$$
となる（$*$ は何かしらの数）。 - 同様に $A’$ に対しても固有ベクトルを取り、基底を拡張していくと上三角化が得られる。
- 例（$2\times2$）：$A=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&2\end{pmatrix}$ はすでに上三角で、対角に固有値 $1,2$ が並ぶ。
4. $m$ 次正方行列の $n$ 乗
以下、$n\in\mathbb{N}$ を乗数（指数）、行列のサイズは状況に応じて明記する。
(1) 相異なる $m$ 本の固有ベクトルが存在①（= 相異なる固有値が $m$ 個）
- 方針：$A$ が $m$ 本の線形独立な固有ベクトルを持つ（すなわち対角化可能）なら
$$
A=PDP^{-1}\ \Rightarrow\ A^n=PD^nP^{-1},\qquad D^n=\mathrm{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_m^n).
$$ - 具体例（$3\times3$）：
$$
A=\begin{pmatrix}1&1&0\\[2pt]0&2&0\\[2pt]0&0&3\end{pmatrix}.
$$
固有値は $1,2,3$（相異）。固有ベクトルは
$$
\lambda=1:\ (1,0,0)^{\mathsf T},\quad
\lambda=2:\ (1,1,0)^{\mathsf T},\quad
\lambda=3:\ (0,0,1)^{\mathsf T}.
$$
よって
$$
P=\begin{pmatrix}1&1&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix},\
P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix},\
D=\mathrm{diag}(1,2,3).
$$
このとき
$$
A^n=P\,\mathrm{diag}(1^n,2^n,3^n)\,P^{-1}
=\begin{pmatrix}1&1&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]0&2^n&0\\[2pt]0&0&3^n\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1&0\\[2pt]0&1&0\\[2pt]0&0&1\end{pmatrix}.
$$
積を実行すると
$$
A^n=
\begin{pmatrix}
1 & 2^n-1 & 0\\[2pt]
0 & 2^n & 0\\[2pt]
0 & 0 & 3^n
\end{pmatrix}.
$$
(2) 重解はあるが $m$ 本の固有ベクトルが存在②（= 対角化可能）
- 方針：固有値に重複があっても、固有ベクトルが合計で $m$ 本（幾何重複度の和が $m$）あれば対角化可能で、(1) と同様に $A^n=PD^nP^{-1}$。
- 具体例（$3\times3$）：
$$
A=\mathrm{diag}(2,2,3).
$$
固有値 $2$（重複 2）と $3$。固有ベクトルは標準基底 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ がそのまま 3 本あり、対角化済み。ゆえに
$$
A^n=\mathrm{diag}(2^n,2^n,3^n).
$$
(3) 相異なる $m-1$ 本の固有ベクトルが存在（ジョルダンブロック 2 が 1 つ）
- 方針：一つの固有値の固有空間次元が 1 足りない状況（例：$3\times3$ で固有ベクトルは 2 本）。このとき $A$ は
$$
A=P\,\mathrm{diag}\big(J_2(\lambda),\ [\mu]\big)P^{-1}
$$
と相似（$J_2(\lambda)=\begin{pmatrix}\lambda&1\\[2pt]0&\lambda\end{pmatrix}$）。 - ブロックの冪：$J_2(\lambda)=\lambda I+N$（$N^2=0$）より二項展開
$$
J_2(\lambda)^n=(\lambda I+N)^n=\lambda^n I+n\lambda^{n-1}N
=\begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\[2pt]0&\lambda^n\end{pmatrix}.
$$ - 具体例（$3\times3$）：
$$
A=\begin{pmatrix}2&1&0\\[2pt]0&2&0\\[2pt]0&0&3\end{pmatrix}
\sim \mathrm{diag}\big(J_2(2),[3]\big).
$$
よって
$$
A^n\sim \mathrm{diag}\left(
\begin{pmatrix}2^n&n\,2^{\,n-1}\\[2pt]0&2^n\end{pmatrix},\ [\,3^n\,]
\right).
$$
実際の $A^n$ は $P$ で挟み戻すことで得られる（$P$ は一般化固有ベクトルから構成）。
(4) 相異なる $m-2$ 本の固有ベクトルが存在（ジョルダンブロック 3 など）
- 方針：$3\times3$ で固有ベクトルが 1 本しかない場合を例に。$A$ は $J_3(\lambda)$ と相似。
- ブロックの冪：$J_3(\lambda)=\lambda I+N$（$N^3=0$）なので
$$
J_3(\lambda)^n=\sum_{r=0}^{2}\binom{n}{r}\lambda^{\,n-r}N^r
=\begin{pmatrix}
\lambda^n & \binom{n}{1}\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2}\\
0&\lambda^n&\binom{n}{1}\lambda^{n-1}\\
0&0&\lambda^n
\end{pmatrix}.
$$ - 具体例：
$$
A=\begin{pmatrix}2&1&0\\[2pt]0&2&1\\[2pt]0&0&2\end{pmatrix}=J_3(2).
$$
よって
$$
A^n=\begin{pmatrix}
2^n & n\,2^{n-1} & \binom{n}{2}2^{n-2}\\[2pt]
0 & 2^n & n\,2^{n-1}\\[2pt]
0 & 0 & 2^n
\end{pmatrix}.
$$
(6) ジョルダン標準形の発想（一般化固有ベクトルの鎖）
- 発想：固有ベクトルが足りないとき、$\lambda$ に対し
$$
(A-\lambda I)\mathbf{v}_1=\mathbf{0},\quad
(A-\lambda I)\mathbf{v}_2=\mathbf{v}_1,\quad
(A-\lambda I)\mathbf{v}_3=\mathbf{v}_2,\ \dots
$$
を満たす列 $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots$ を作る（ジョルダン鎖）。この基底での行列表現が $J_k(\lambda)$。
直感的には、$(A-\lambda I)$ は「1 つずつ手前のベクトルへ送る」作用で、上超対角の 1 がその働きを表す。鎖の長さがブロックの大きさを与える。
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