2025-08

1. ベクトル空間(1) 定義定義：集合 $V$ が $\mathbb{R}$ 上ベクトル空間（線形空間，vector space）であるとは，$V$ 上に以下の加法の公理およびスカラー倍の公理による 8 つの条件を全て満たす演算 $+$ ...

1. 確率・統計と行列(1) 残差ベクトル観測ベクトル $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$、モデルの予測 $\hat{\mathbf{y}}\in\mathbb{R}^n$ に対して、残差ベクトルは$$\mathbf{e...

1. LU分解LU分解（Lower–Upper 分解）は、正方行列 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ を下三角行列 $L$（対角成分を $1$ とする）と上三角行列 $U$ の積$$A=LU$$として表す方法である。...

1. 2次形式(1) 定義2次形式（quadratic form）とは、変数ベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ に対して次の形で表される関数のことを指します。$$Q(\mathbf{x}) = \mathb...

1. 内積空間(1) 内積の定義内積とは、ベクトル空間 $V$ の任意の $u,v\in V$ に実数（実内積）または複素数（エルミート内積）を対応させる写像 $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\...

1. 正射影ベクトル(1) 定義$x\in\mathbb{R}^n$ に対し、部分空間 $\mathbb{R}^m$ のベクトルのうち $x$ との距離が最小になる $y\in\mathbb{R}^m$ を $x$ の $\mathbb{R...

1. 固有値と固有ベクトル(1) 固有値と固有ベクトルの定義固有値の定義：$A$ を $n\times n$ 行列とする。$A$ に対し、$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ を満たすスカラー $\lambda\...

1. 線形写像・線形変換(1) 線形写像定義：線型空間（ベクトル空間）$V$ から $W$ への写像 $f$ が 線形写像 であるとは、任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ と任意のスカラー $k$ に対して$$...

1. 和空間(1) 定義和空間とは、2つの部分空間 $U, V$ に対して$$U + V = \{\, u + v \mid u \in U,\ v \in V \,\}$$で定義される集合です。注意：$U+V$ は $U \cup V$（...

1. 基本行列と基本変形以下の3つの行列を基本行列と呼び、それらを掛ける操作を基本変形という。左からかける場合は列基本変形、右からかける場合は行基本変形と呼ぶ。(1) 置換 $C_{ij}$：列や行を入れ替える定義：単位行列 $I_n$ の...