線形代数

1. スペクトル分解とn乗(1) スペクトル分解定理12.1: スペクトル分解$A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ が（正規でなくても）対角化可能で、固有値の取り得る値が相異なるものとして ${\lambda_1,\do...

1. ベクトル空間の定義(1) ベクトル空間の定義定義7.1: ベクトル空間集合 $V$ が $\mathbb{R}$ 上ベクトル空間（線形空間，vector space）であるとは，$V$ 上に以下の加法の公理およびスカラー倍の公理による...

1. 確率・統計と行列(1) 残差ベクトル観測ベクトル $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$、モデルの予測 $\hat{\mathbf{y}}\in\mathbb{R}^n$ に対して、残差ベクトルは$$\mathbf{e...

1. 固有値分解正方行列$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$に$n$本の相異なる固有ベクトルが得られる場合、その固有ベクトルを並べた行列$P$と固有値を対角成分にもつ対角行列$\Lambda$を用いて$A=P\La...

1. 2次形式(1) 2次形式の定義定義14.1: 2次形式2次形式（quadratic form）とは、変数ベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ に対して次の形で表される関数のことを指します。$$Q(\ma...

1. 内積空間本節で扱う定義や定理は、ベクトル空間の要素として複素数も含めてた複素ベクトル空間でも成立する内容になります。(1) 内積の定義第1章の定義1.12(以下の記事参照)では内積を成分によって定義しましたが、一般には抽象化して定義し...

1. 正射影ベクトルの定義以下の第2章の記事では2次元のベクトルについて正射影ベクトルを定義した。本節では一般の次元における正射影ベクトルを与える。(1) 正射影ベクトルの定義定義11.1: 一般の正射影ベクトル$x\in\mathbb{R...

1. 固有値と固有ベクトル(1) 固有値の定義定義10.1: 固有値$A$ を $n\times n$ 行列とする。$A$ に対し、$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$ を満たすスカラー $\lambda\in\...

1. 線形写像・線形変換(1) 線形写像の定義定義9.1: 線形写像線型空間（ベクトル空間）$V$ から $W$ への写像 $f$ が 線形写像 であるとは、任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ と任意のスカラー...

1. 和空間(1) 和空間の定義定義8.1: 和空間和空間とは、2つの部分空間 $U, V$ に対して$$U + V = \{\, u + v \mid u \in U,\ v \in V \,\}$$で定義される集合です。注意：$U+V$...