1. 線形写像・線形変換
(1) 線形写像
- 定義：線型空間（ベクトル空間）$V$ から $W$ への写像 $f$ が 線形写像 であるとは、任意の $\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$ と任意のスカラー $k$ に対して
$$
f(\mathbf{x}+\mathbf{y})=f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y}),\qquad
f(k\mathbf{x})=k\,f(\mathbf{x})
$$
を満たすこと。 - 具体例（丁寧な説明）：$V=W=\mathbb{R}^2$ とし、$f(x,y)=(2x,\,3y)$ と定める。
- 加法保持の確認
任意の $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2$ について
$$
\begin{aligned}
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)
&= f(x_1+x_2,\,y_1+y_2) \\
&= (2(x_1+x_2),\,3(y_1+y_2)) \\
&= (2x_1,3y_1)+(2x_2,3y_2) \\
&= f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2).
\end{aligned}
$$ - スカラー倍保持の確認
任意の $k\in\mathbb{R}$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ について
$$
f\big(k(x,y)\big)=f(kx,\,ky)=(2kx,\,3ky)=k(2x,\,3y)=k\,f(x,y).
$$
よって $f$ は線形写像である。
（参考：非線形の例として $g(x,y)=(x^2,y)$ を考えると、$g((1,0)+(1,0))=(4,0)$ だが $g(1,0)+g(1,0)=(1,0)+(1,0)=(2,0)$ で一致しないので線形ではない。）
(2) 線形変換
- 定義：特に $V$ から 同じ空間 $V$ への線形写像を 線形変換 という。
- 具体例（丁寧な説明）：$V=\mathbb{R}^2$ とし、$T(x,y)=(x+y,\ x-3y)$ と定める。
加法とスカラー倍を順に確認する：
$$
\begin{aligned}
T((x_1,y_1)+(x_2,y_2))
&=T(x_1+x_2,\,y_1+y_2)\\
&=(x_1+x_2+y_1+y_2,\ x_1+x_2-3y_1-3y_2)\\
&=(x_1+y_1,\,x_1-3y_1)+(x_2+y_2,\,x_2-3y_2)\\
&=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2),\\[4pt]
T\big(k(x,y)\big)
&=T(kx,ky)=(kx+ky,\ kx-3ky)=k(x+y,\ x-3y)=k\,T(x,y).
\end{aligned}
$$
よって $T$ は線形変換。標準基底に関する表現行列は
$$
A=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&-3\end{pmatrix},\quad T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}.
$$
列の見方：$A$ の第 $j$ 列は基底ベクトル $\mathbf{e}_j$ の像 $T(\mathbf{e}_j)$ を成分として持つ。
(3) 表現行列
- 定義：$V=\mathbb{C}^n,\,W=\mathbb{C}^m$（一般には体 $\mathbb{F}$ 上 $\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m$）の線形写像 $T:V\to W$ は、基底を選べば行列 $A\in M_{m\times n}(\mathbb{F})$ によって
$$
T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}
$$
と表される。この $A$ を 表現行列 という。 - 具体例：$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ T(x,y)=(2x+y,\ x-3y)$。標準基底 $\mathbf{e}_1=(1,0),\ \mathbf{e}_2=(0,1)$ に対して
$$
T(\mathbf{e}_1)=(2,1),\quad T(\mathbf{e}_2)=(1,-3).
$$
よって表現行列は
$$
A=\big[\,T(\mathbf{e}_1)\ \ T(\mathbf{e}_2)\,\big]
=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&-3\end{pmatrix}.
$$
2. 核($\mathrm{Ker}$)と像($\mathrm{Im}$)
(1) 核 ($\mathrm{Ker}$)
- 定義：線形写像 $f:V\to W$ の 核 は
$$
\mathrm{Ker}\,f=\{\ \mathbf{x}\in V\mid f(\mathbf{x})=\mathbf{0}\ \}.
$$ - 具体例（計算過程つき）：$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[2pt]0&1&4\end{pmatrix}$ とし、$\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\mid A\mathbf{x}=\mathbf{0}}$ を求める。
方程式系は
$$
\begin{cases}
x_1+2x_2+3x_3=0\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2+4x_3=0
\end{cases}
\Rightarrow x_2=-4t,\ x_1=-2x_2-3x_3=8t-3t=5t,\ x_3=t.
$$
よって
$$
\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{span}\{(5,\ -4,\ 1)\}.
$$
(2) 像 ($\mathrm{Im}$)
- 定義：線形写像 $f:V\to W$ の 像 は
$$
\mathrm{Im}\,f={\ f(\mathbf{x})\mid \mathbf{x}\in V\ }.
$$ - 具体例（計算過程つき）：上と同じ $A$ を考える。$A$ の列ベクトルを
$$
\mathbf{a}_1=(1,0)^{\mathsf T},\quad \mathbf{a}_2=(2,1)^{\mathsf T},\quad \mathbf{a}_3=(3,4)^{\mathsf T}
$$
とすると
$$
\mathrm{Im}\,A=\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}.
$$
ただし $\mathbf{a}_3$ は $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せる。実際、$(3,4)^{\mathsf T}=-5(1,0)^{\mathsf T}+4(2,1)^{\mathsf T}$。
したがって
$$
\mathrm{Im}\,A=\mathrm{span}\{(1,0)^{\mathsf T},\ (2,1)^{\mathsf T}\},\qquad \dim(\mathrm{Im}\,A)=2.
$$
（別解）行基本変形で
$$
\begin{pmatrix}1&2&3\\[2pt]0&1&4\end{pmatrix}
\ \xrightarrow{C_3\leftarrow C_3-2C_2}\
\begin{pmatrix}1&2&-5\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix}
$$
とすると、独立な列は第1・第2列であり、像の基底はこれらに対応する列ベクトルで与えられる。
3. 同型写像の基本定理
(1) 同型
- 定義：$V,W$ が 同型 ($V\cong W$) とは、$V$ から $W$ への 線形かつ全単射 の写像が存在すること。
- 具体例（$\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{C}$ の同型を実際に構成）：$\mathbb{C}$ を 実ベクトル空間 として考える（スカラーは $\mathbb{R}$）。写像
$$
\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{C},\qquad \phi(a,b)=a+bi
$$
を定める。任意の $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in\mathbb{R}^2$, $k\in\mathbb{R}$ に対し
$$
\phi\big((a_1,b_1)+(a_2,b_2)\big)=\phi(a_1+a_2,\,b_1+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i=\phi(a_1,b_1)+\phi(a_2,b_2),
$$
$$
\phi\big(k(a,b)\big)=\phi(ka,\,kb)=ka+kbi=k(a+bi)=k\,\phi(a,b).
$$
よって線形。全単射性は逆写像
$$
\psi:\mathbb{C}\to\mathbb{R}^2,\qquad \psi(x+yi)=(x,y)
$$
を与えることで従う（$\psi$ も実線形であり $\psi\circ\phi=\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}$, $\phi\circ\psi=\mathrm{id}_{\mathbb{C}}$）。従って $\mathbb{R}^2\cong\mathbb{C}$（実ベクトル空間として）。
(2) 同型写像
- 同型な $V,W$ の間の線形写像を 同型写像 という（上の $\phi,\psi$ が具体例）。
(3) 同型写像の基本定理
- 主張：有限次元のベクトル空間 $V,W$ について、$V\cong W$ であることと $\dim V=\dim W$ であることは 同値 である。
- 証明（略さず丁寧に）：
（$\Rightarrow$）$V\cong W$ とする。すなわち線形全単射 $T:V\to W$ が存在する。
$T$ は単射なので $\mathrm{Ker}\,T={\mathbf{0}}$。よって階数・退化度の定理（4(2)）より
$$
\dim V=\dim(\mathrm{Ker}\,T)+\dim(\mathrm{Im}\,T)=0+\dim(\mathrm{Im}\,T)=\dim(\mathrm{Im}\,T).
$$
さらに $T$ は全射なので $\mathrm{Im}\,T=W$。したがって $\dim V=\dim W$。
（$\Leftarrow$）$\dim V=\dim W=n$ とする。$V$ の基底 ${\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ と $W$ の基底 ${\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n}$ を取る。写像 $T:V\to W$ を
$$
T\Big(\sum_{j=1}^n \alpha_j\mathbf{v}_j\Big)=\sum_{j=1}^n \alpha_j\mathbf{w}_j
$$
と定めると、これは線形写像で、$T(\mathbf{v}_j)=\mathbf{w}_j$ が成り立つ。基底を基底に移すため $T$ は単射かつ全射（任意の $\mathbf{w}\in W$ は一意に $\sum \alpha_j\mathbf{w}_j$ と書け、それは $T(\sum \alpha_j\mathbf{v}_j)$ である）。よって $T$ は同型写像。$\square$
4. 線形写像の基本定理
(1) 線形写像の基本定理 (1)
- 主張：線形写像 $f:V\to W$ に対し、
$$
V/\mathrm{Ker}\,f \ \cong\ \mathrm{Im}\,f.
$$ - 証明（第一同型定理の標準証明）：自然な商写像 $\pi:V\to V/\mathrm{Ker}\,f,\ \pi(\mathbf{v})=\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f$ を用いる。写像
$$
\tilde{f}:V/\mathrm{Ker}\,f\to \mathrm{Im}\,f,\qquad \tilde{f}(\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f)=f(\mathbf{v})
$$
を定める。
1) well-defined：$\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f=\mathbf{v}’+\mathrm{Ker}\,f$ なら $\mathbf{v}’-\mathbf{v}\in\mathrm{Ker}\,f$、よって $f(\mathbf{v}’)-f(\mathbf{v})=f(\mathbf{v}’-\mathbf{v})=\mathbf{0}$。したがって $f(\mathbf{v}’)=f(\mathbf{v})$。
2) 線形性：$\tilde{f}((\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f)+(\mathbf{u}+\mathrm{Ker}\,f))=\tilde{f}(\mathbf{v}+\mathbf{u}+\mathrm{Ker}\,f)=f(\mathbf{v}+\mathbf{u})=f(\mathbf{v})+f(\mathbf{u})$。スカラー倍も同様。
3) 全射：任意の $\mathbf{y}\in\mathrm{Im}\,f$ は $\mathbf{y}=f(\mathbf{v})$ と書け、$\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f$ が像に送られる。
4) 単射：$\tilde{f}(\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f)=\mathbf{0}$ なら $f(\mathbf{v})=\mathbf{0}$、すなわち $\mathbf{v}\in\mathrm{Ker}\,f$。ゆえに $\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f=\mathrm{Ker}\,f$（零元）。
よって $\tilde{f}$ は同型。$\square$
(2) 線形写像の基本定理 (2)
- 主張（階数・退化度の定理, Rank–Nullity）：
$$
\dim V-\dim(\mathrm{Ker}\,f)=\dim(\mathrm{Im}\,f).
$$ - 証明：4(1) で $V/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f$。同型なら次元は等しいから
$$
\dim\big(V/\mathrm{Ker}\,f\big)=\dim(\mathrm{Im}\,f).
$$
一方、商空間の次元は $\dim V-\dim(\mathrm{Ker}\,f)$ である（剰余類の標準事実）。ゆえに主張が従う。$\square$
(3) 次元定理 (1)
- 主張：$A$ を $m\times n$ 行列とし、$A$ が定める線形写像 $T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ に対して
$$
\mathrm{rank}\,A=\dim(\mathrm{Im}\,A).
$$ - 証明：$\mathrm{rank}\,A$ を「列空間（$A$ の列ベクトル全体の張る空間）の次元」と定義すれば、これはまさに $T_A$ の像 $\mathrm{Im}\,A$ の次元である（$T_A(\mathbf{x})=\sum x_j\mathbf{a}_j$ と列ベクトル $\mathbf{a}_j$ の線形結合で表される）。したがって等しい。$\square$
(4) 次元定理 (2)
- 主張：$A$ を $m\times n$ 行列とすると
$$
\dim(\mathrm{Ker}\,A)=n-\mathrm{rank}\,A.
$$ - 証明：$T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ に 4(2) を適用すれば
$$
\dim\mathbb{F}^n-\dim(\mathrm{Ker}\,A)=\dim(\mathrm{Im}\,A)=\mathrm{rank}\,A
$$
であり、$\dim\mathbb{F}^n=n$ より $\dim(\mathrm{Ker}\,A)=n-\mathrm{rank}\,A$。$\square$
(5) 可逆変換と次元
- 主張：可逆（＝全単射）な線形写像（変換）は次元を変えない。
- 証明：$T:V\to W$ が線形同型なら 3(3) の結果より $\dim V=\dim W$。特に $T:V\to V$ が可逆なら、$T$ は $V$ を同型として自分へ移すので次元は当然不変である。$\square$
5. 正則と同値な条件
(1) 同値な条件
$n$ 次正方行列 $A$ について次は同値：
- $A$ が正則（可逆）
- $\det A\neq 0$
- $\mathrm{rank}\,A=n$
- $\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{0}}$
- $A$ の列ベクトルが線形独立
- $A$ の行ベクトルが線形独立
- $A$ の固有値に $0$ がない
(2) 「Aが正則」と「det(A) ≠ 0」が同値であることの証明
- ($\Rightarrow$) $A$ が可逆なら $AA^{-1}=I$。行列式の性質より $\det A\cdot\det A^{-1}=\det I=1$。したがって $\det A\neq 0$。
- ($\Leftarrow$) $\det A\neq 0$ なら随伴行列 $\mathrm{adj}(A)$ が存在し
$$
A\,\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\,A=(\det A)I
$$
が成り立つ。両辺を $\det A$ で割ると $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}(A)$ が得られ、$A$ は可逆。
(3) 「$A$ が正則」と「$\mathrm{rank}(A)=n$」が同値であることの証明
- ($\Rightarrow$) $A$ 可逆なら写像 $T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n$ は全単射。特に全射なので像は $\mathbb{F}^n$、よって $\dim(\mathrm{Im}\,A)=n$。4(3) より $\mathrm{rank}\,A=n$。
- ($\Leftarrow$) $\mathrm{rank}\,A=n$ なら像の次元が $n$、したがって $\mathrm{Im}\,A=\mathbb{F}^n$。$T_A$ は全射で、有限次元では全射 $\Rightarrow$ 単射（4(2) から $\dim(\mathrm{Ker}\,A)=n-\mathrm{rank}\,A=0$）。よって全単射、すなわち可逆。
(4) 「Aが正則」と「$\mathrm{Ker}(A) = {\mathbf{0}}$」が同値であることの証明
- ($\Rightarrow$) $A$ 可逆なら $A\mathbf{x}=\mathbf{0}\Rightarrow \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}$。
- ($\Leftarrow$) $\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{0}}$ は単射を意味する。有限次元で $T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n$ が単射なら 4(2) より $\dim(\mathrm{Im}\,A)=n$、したがって全射でもあり、全単射 $\Rightarrow$ 可逆。
(5) 「Aが正則」と「列ベクトルが線型独立」が同値であることの証明
- 列ベクトル $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n$ に対し $A\mathbf{x}=\sum_{j=1}^n x_j\mathbf{a}_j$。
$\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{0}}$ と列の独立性は同値（$\sum x_j\mathbf{a}_j=\mathbf{0}$ の唯一解が $x_j=0$ であること）。
よって5(4）により題意成立。
(6) 「Aが正則」と「行ベクトルが線型独立」が同値であることの証明
- 行ベクトルの独立性は $A^{\mathsf T}$ の列ベクトルの独立性に等しい。
$A$ 可逆 $\Rightarrow A^{\mathsf T}$ も可逆（$(A^{\mathsf T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathsf T}$）。
（d）を $A^{\mathsf T}$ に適用すれば、$A^{\mathsf T}$ の列（＝$A$ の行）が独立 $\Leftrightarrow A^{\mathsf T}$ 可逆 $\Leftrightarrow A$ 可逆。従って $1\Leftrightarrow 6$。
(7) 「Aが正則」と「Aの固有値に0がない」が同値であることの証明
- ($\Rightarrow$) $A$ 可逆なら $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ の非零解は存在しない。もし $0$ が固有値なら $A\mathbf{x}=0\cdot \mathbf{x}=\mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ が存在し可逆性に矛盾。
- ($\Leftarrow$) 逆に $A$ が可逆でないとき $\mathrm{Ker}\,A\neq{\mathbf{0}}$ なので $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ で $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$、すなわち固有値 $0$ を持つ。よって「$0$ が固有値でない」ことと可逆は同値。
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