ベクトルの応用

以下の図のように、$\mathbf{a}$の$\mathbf{b}$を方向ベクトルとした直線への垂線の足へのベクトル$\mathbf{n}$を$\mathbf{a}$の$\mathbf{b}$への正射影ベクトルといいます。

ベクトル $\mathbf{a}$ をベクトル $\mathbf{b}$ の張る直線（$\operatorname{span}{\mathbf{b}}$）に正射影したベクトル（直交射影）は $$\mathrm{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}$$ で与えられます。対応するスカラー射影（符号つき長さ）は $$\mathrm{sproj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}.$$ で与えられます。

点 $\mathbf{p}_0\in\mathbb{R}^n$ を通り方向ベクトル $\mathbf{d}\neq\mathbf{0}$ に平行な直線 $L$ は $$L=\{\ \mathbf{r}(t)=\mathbf{p}_0+t\mathbf{d}\mid t\in\mathbb{R}\ \}.$$

$\mathbf{p}_0=(x_0,y_0,z_0)$を通り、方向ベクトルが$\mathbf{d}=(a,b,c)$ の3次元空間内の直線の方程式は以下で与えられます。 $$ \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \Longleftrightarrow \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t $$ （ただし $a,b,c$ のうち $0$ の成分があれば，その成分は $x=x_0$ 等の一次方程式で表すとします。）

平面 $\Pi$ は，$\Pi$ 上の 1 点 $\mathbf{p}_0$ と $\Pi$ 内の一次独立な 2 ベクトル $\mathbf{u},\mathbf{v}$ を用いて以下のように表されます。 $$\Pi=\{\ \mathbf{r}(s,t)=\mathbf{p}_0+s\mathbf{u}+t\mathbf{v}\mid s,t\in\mathbb{R}\ \}.$$

$\mathbf{p}_0=(x_0, y_0, z_0)^Tを通り$法線ベクトル $\mathbf{n}=(A,B,C)$ と垂直な平面上の点を$\mathbf{r}=(x, y, z)^T$とすれば、内積を用いて平面の方程式を以下のように記述できます。 $$ \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{p}_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0. $$

底辺を $b$，その高さを $h$ とすると $$S=\frac{1}{2}bh.$$

2 辺 $a,b$ とその間の角を $\theta$ とすると $$S=\frac{1}{2}ab\sin\theta.$$

$$S=rs.$$

$$S=\frac{abc}{4R}.$$

3 点 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$ に対し $$ S=\frac12\left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\right| =\frac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|. $$

$$S=\frac12\sqrt{\ |\mathbf{u}|^2\ |\mathbf{v}|^2-\left(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right)^2\ }$$

三次元で辺ベクトルを $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$ とすると $$S=\frac12|\mathbf{u}\times\mathbf{v}|.$$

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$

$\mathbf{v}=(x,y,z)\neq\mathbf{0}$ の方向余弦は$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。 ただし、 $$ \cos\alpha=\frac{x}{|\mathbf{v}|},\quad \cos\beta=\frac{y}{|\mathbf{v}|},\quad \cos\gamma=\frac{z}{|\mathbf{v}|},\qquad |\mathbf{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. $$ また、以下の性質が成り立つ。 $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$。

3 ベクトル $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in\mathbb{R}^3$ が共面ベクトルであるとは、3つのベクトルが同一平面上に存在することを意味します。必要十分条件は以下です。 $$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=0.$$

空間内の平面上の閉曲線$C$の 面積ベクトル とは、$C$の面積を大きさとし、$C$に垂直なベクトルを指します。 特に$C$が平行四辺形のときは、面積ベクトルは以下となります。 $$\mathbf{S}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}$$