様々なベクトル空間

バイオインフォ基礎

1. 和空間

(1) 定義

和空間とは、2つの部分空間 $U, V$ に対して
$$
U + V = \{\, u + v \mid u \in U,\ v \in V \,\}
$$
で定義される集合です。
注意：$U+V$ は $U \cup V$（集合の和集合）ではありません。

(2) 定理：和空間は部分空間

証明
$U, V$ はともにベクトル空間 $W$ の部分空間とする。
$u, u’ \in U$, $v, v’ \in V$, $k, k’ \in \mathbb{R}$ とすると、
$$
k(u+v) + k'(u’+v’) = (ku + k’u’) + (kv + k’v’)
$$
ここで $ku+k’u’\in U$（$U$ は加法・スカラー倍に閉じる）、$kv+k’v’\in V$。
したがって右辺は $U+V$ の元である。よって $U+V$ は部分空間。$\square$

(3) 具体例

$U = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x }$,
$W = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 2x }$ とする。
$U+W$ の任意の元は $(a, a) + (b, 2b) = (a+b, a+2b)$ の形。
$(p,q)\in\mathbb{R}^2$ に対して $a=q-2p$, $b=p-(q-2p)=3p-q$ と取れば
$(a+b, a+2b)=(p,q)$ が得られる。よって $U+W=\mathbb{R}^2$。

2. 共通部分

(1) 定義

$$
U \cap V = \{\, x \mid x \in U\ \text{かつ}\ x \in V \,\}
$$

(2) 定理：共通部分は部分空間

証明
$w,w’\in U\cap V$, $k,k’\in\mathbb{R}$ とする。
$w,w’$ はともに $U$ かつ $V$ の元なので、$kw+k’w’\in U$ かつ $kw+k’w’\in V$。
したがって $kw+k’w’\in U\cap V$。$\square$

(3) 具体例

$U=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}$，$W=\{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\}$。
共通部分は $(0,y,0)$ の形のベクトル全体で、
$$
U\cap W=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\}.
$$

3. 直和

定義：$U \cap V={\mathbf{0}}$ のとき、$U+V$ を $U$ と $V$ の直和といい、
$$
U\oplus V
$$
と表す（$\emptyset$ ではなく ${\mathbf{0}}$ に注意）。

4. 補空間

$U\oplus V$ の関係にあるとき、$U$ を $V$ の補空間、$V$ を $U$ の補空間という。

5. 直交補空間

(1) 定義

内積空間 $V$ の部分空間 $W$ に対し、直交補空間は
$$
W^\perp=\{\, v\in V \mid \forall w\in W,\ \langle v,w\rangle=0 \,\}.
$$

(2) 直交補空間は部分空間

証明
$v,v’\in W^\perp$, $k,k’\in\mathbb{R}$ とし任意の $w\in W$ をとると
$$
\langle kv+k’v’,\,w\rangle=k\langle v,w\rangle+k’\langle v’,w\rangle=0.
$$
よって $kv+k’v’\in W^\perp$。$\square$

6. 直和分解（直交直和）

内積空間 $V$ とその部分空間 $W$ に対し
$$
V=W\oplus W^\perp
$$
が成り立つ（有限次元）。つまり、任意の $v\in V$ は一意に $v=w+w^\perp$（$w\in W$, $w^\perp\in W^\perp$）と書ける。

7. 商空間

(1) 同値関係

  • 定義（反射・対称・推移を具体的に）：集合 $X$ 上の二項関係 $\sim$ が
  1. 反射律：$\forall x\in X,\ x\sim x$
  2. 対称律：$\forall x,y\in X,\ x\sim y \Rightarrow y\sim x$
  3. 推移律：$\forall x,y,z\in X,\ x\sim y\ \&\ y\sim z \Rightarrow x\sim z$
    を満たすとき、$\sim$ を 同値関係という。
  • 具体例と丁寧な証明：
    ベクトル空間 $V,W$ と線形写像 $f:V\to W$ をとり、
    $$
    v_1\sim v_2 \quad\Longleftrightarrow\quad v_1-v_2\in\ker f
    $$
    と定める。これが同値関係であることを示す。
    1) 反射律：任意の $v\in V$ で $v-v=\mathbf{0}\in\ker f$（$f(\mathbf{0})=\mathbf{0}$）。よって $v\sim v$。
    2) 対称律：$v_1\sim v_2$ なら $v_1-v_2\in\ker f$。部分空間は符号反転に閉じるので $v_2-v_1=-(v_1-v_2)\in\ker f$。ゆえに $v_2\sim v_1$。
    3) 推移律：$v_1\sim v_2$ かつ $v_2\sim v_3$ なら $v_1-v_2,\ v_2-v_3\in\ker f$。部分空間は加法に閉じるため $(v_1-v_2)+(v_2-v_3)=v_1-v_3\in\ker f$。よって $v_1\sim v_3$。$\square$

(2) 同値類

  • 定義（用語の説明つき）：$X$ 上に同値関係 $\sim$ が定まっているとき、$x\in X$ を代表元として
    $$
    [x]=\{\, y\in X \mid y\sim x \,\}
    $$
    を $x$ の同値類という。$[x]$ は「$x$ と同じ関係で束ねられる要素の全体」で、$X$ を互いに素に分割する「ひとかたまり」の 1 つである。
  • 具体例と証明：
    上の例で $V=\mathbb{R}^2$，$f(x,y)=y-x$ とすると $\ker f=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}$。
    $x_0=(0,1)$ の同値類は
    $$
    [(0,1)] = \{\, (x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (x,y)-(0,1)=(x,y-1)\in\ker f \,\}
    = \{\, (x,y)\mid y-1=x \,\}=\{(t,t+1)\mid t\in\mathbb{R}\}.
    $$
    これは直線 $y=x+1$ 上の点全体である。

(3) 商集合

  • 定義（写像の観点）：同値関係 $\sim$ による 商集合は
    $$
    X/\sim=\{\, [x]\mid x\in X \,\}
    $$
    と定義する。自然な全射 $q:X\to X/\sim$ を $q(x)=[x]$ とおくと、各同値類が $X$ を分割していること（互いに交わらず合併が $X$）がわかる。
  • 具体例：上の $f(x,y)=y-x$ の例では、$X/\sim$ は平面上の平行族 $\{\, y=x+c \mid c\in\mathbb{R} \,\}$ の直線 1 本ずつを要素に持つ集合である。

(4) 商空間

  • 定義（演算も明示）：$V$ をベクトル空間，$W\le V$（部分空間）とする。各 $v\in V$ に対し
    $$
    v+W=\{\, v+w \mid w\in W \,\}
    $$
    を $v$ の 剰余類（コセット） と呼ぶ。商空間 $V/W$ は
    $$
    V/W=\{\, v+W \mid v\in V \,\}
    $$
    と定義し，演算を
    $$
    (v+W)+(u+W)=(v+u)+W,\qquad \alpha(v+W)=(\alpha v)+W
    $$
    と定める（下で well-defined を証明）。

(5) 定理：商空間はベクトル空間

主張：上の演算で $V/W$ はベクトル空間になる。
証明（詳解：well-defined と 8 条件）

(0) well-defined（代表元によらない）
$v+W=v’+W$ かつ $u+W=u’+W$ とする（すなわち $v’-v\in W$, $u’-u\in W$）。

  • 加法：$(v’+u’)-(v+u)=(v’-v)+(u’-u)\in W$（$W$ は部分空間）。従って $(v’+u’)+W=(v+u)+W$。
  • スカラー：$\alpha v’-\alpha v=\alpha(v’-v)\in W$（$W$ はスカラー倍に閉じる）。従って $\alpha v’+W=\alpha v+W$。
    よって定義は代表元に依らない。

(1) 加法の交換則：$(v+W)+(u+W)=(v+u)+W=(u+v)+W=(u+W)+(v+W)$。
(2) 加法の結合則：$\big((v+W)+(u+W)\big)+(t+W)=\big(v+u+t\big)+W=(v+W)+\big((u+W)+(t+W)\big)$。
(3) 加法単位元の存在：$0+W=W$ が単位。$(v+W)+(0+W)=(v+0)+W=v+W$。
(4) 加法逆元の存在：$-(v+W)=(-v)+W$。$(v+W)+((-v)+W)=(v-v)+W=W$。
(5) 分配法則①：$\alpha\big((v+W)+(u+W)\big)=\alpha(v+u)+W=(\alpha v+\alpha u)+W=(\alpha v+W)+(\alpha u+W)$。
(6) 分配法則②：$(\alpha+\beta)(v+W)=(\alpha v+\beta v)+W=(\alpha v+W)+(\beta v+W)$。
(7) スカラー倍の結合：$\alpha(\beta(v+W))=\alpha(\beta v)+W=((\alpha\beta)v)+W=(\alpha\beta)(v+W)$。
(8) スカラー単位：$1\cdot(v+W)=(1\cdot v)+W=v+W$。
すべて $V$ での等式がそのまま剰余類に降りて成り立つ。ゆえに $V/W$ はベクトル空間。$\square$

8. ベクトル空間に関する定理

(1) 次元に関する包除の定理

主張
$$
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).
$$

証明（基底の延長で数え上げ）
$U\cap V$ の基底を ${w_1,\dots,w_r}$ とする（$r=\dim(U\cap V)$）。
これを $U$ の基底に延長して ${w_1,\dots,w_r,u_{r+1},\dots,u_m}$（$m=\dim U$）、
$V$ の基底に延長して ${w_1,\dots,w_r,v_{r+1},\dots,v_n}$（$n=\dim V$）を得る。
主張：集合
$$
\mathcal{B}=\{\,w_1,\dots,w_r,\ u_{r+1},\dots,u_m,\ v_{r+1},\dots,v_n\,\}
$$
は $U+V$ を張る。実際、任意の $x\in U+V$ は $x=u+v$（$u\in U$, $v\in V$）と書け、
$u$ は $w$ と $u$ の基底の線形結合、$v$ は $w$ と $v$ の基底の線形結合で表せるため $x$ は $\mathcal{B}$ の線形結合で表せる。
さらに $\mathcal{B}$ の中で $w$ たちを重複して数えていないので、$\mathcal{B}$ の大きさは
$$
r+(m-r)+(n-r)=m+n-r.
$$
この $\mathcal{B}$ は $U+V$ を張る生成系であり、実際、$w$ と $u$ 群、$v$ 群の間に $U\cap V$ 以外の重なりはないため、この数が $\dim(U+V)$ に等しい（不要なベクトルがあれば削っても次元はこの値を超えない）。ゆえに
$\dim(U+V)=m+n-r=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)$。$\square$

(2) 直交補空間の共通部分

主張
$$
A^\perp\cap B^\perp=(A+B)^\perp.
$$

証明（両包含）
（$\subset$）$x\in A^\perp\cap B^\perp$ とする。任意の $a\in A$, $b\in B$ に対し
$\langle x,a+b\rangle=\langle x,a\rangle+\langle x,b\rangle=0+0=0$。
ゆえに $x\in(A+B)^\perp$。
（$\supset$）$x\in(A+B)^\perp$ とする。$a\in A$ に対し $a=a+0\in A+B$ より $\langle x,a\rangle=0$、同様に $b\in B$ に対し $\langle x,b\rangle=0$。
したがって $x\in A^\perp$ かつ $x\in B^\perp$。両方向ゆえ等号が成り立つ。$\square$

(3) Ker・Im と直交補空間

主張（有限次元実内積空間・行列表示でも可）
$$
\ker A = \big(\mathrm{Im}\,A^{\mathsf T}\big)^\perp
$$
（$A$ は線形写像の行列表現，$A^{\mathsf T}$ は転置）。

証明
（$\subset$）$x\in\ker A$ すなわち $Ax=\mathbf{0}$。任意の $y$ に対し
$$
\mathbf{y}^{\mathsf T}A\mathbf{x} = 0
$$
ここで
$$
\mathbf{y}^{\mathsf T}A\mathbf{x} =(A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}\mathbf{x}
$$
だから
$$
(A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}\mathbf{x} = 0
$$
よって $x$ は $\mathrm{Im}\,A^{\mathsf T}$ のすべてのベクトルに直交し、$x\in(\mathrm{Im}\,A^{\mathsf T})^\perp$。

（$\supset$）$x\in(\mathrm{Im}\,A^{\mathsf T})^\perp$ とする。任意の $y$ に対し、$\mathrm{Im}A^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}y$と表せ、これが$x$と直交するから、
$$
(A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0
$$

$$
(A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = y^{\mathsf T} (Ax)
$$
となるから、$Ax$が全ての$y$と直交することを意味するので、そのような$Ax$は$0$のみである。従って、$Ax=0$、つまり
$x\in\ker A$。両包含より等号。$\square$

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