1. ベクトルの定義
(1) ベクトルの定義と表記
定義1.1: ベクトル
$a_1, a_2, \cdots, a_n$を$1, 2, 3+i$などの数とすると、ベクトルとは以下のように数を縦(または横)に複数を並べたもので、記号としては$\mathbf{a}$のようにボールド体を用いて表します。
$$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$$
なお、縦に並べた場合は縦ベクトル、横に並べた場合は横ベクトルと呼びます。特に指定がなければベクトルは縦ベクトルとします。また、並べられた数が$n$個のベクトルは$n$次元のベクトルと呼びます。並べられたそれぞれの数はベクトルの成分と言います。
(2) 様々なベクトル①：幾何ベクトル
定義1.2: 幾何ベクトル
2次元または3次元のベクトルは原点からその成分が表す座標への矢印とみなすことが可能であり、その意味でベクトルは大きさと向きを持つ量とも言えます。
このようにベクトルの幾何学的側面を強調して記述する場合、そのベクトルを幾何ベクトルと呼び、$\vec{OA}$のように表します。
このようにベクトルの幾何学的側面を強調して記述する場合、そのベクトルを幾何ベクトルと呼び、$\vec{OA}$のように表します。
(3) 様々なベクトル②：ゼロベクトル
定義1.3: ゼロベクトル
すべての成分が0であるベクトルをゼロベクトルと呼び、$\mathbf{0}$ や $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ と表記します。
大きさは $0$ であり、向きを持たない特殊なベクトルです。
大きさは $0$ であり、向きを持たない特殊なベクトルです。
(4) 様々なベクトル③：単位ベクトル
定義1.4: 単位ベクトル
単位ベクトルとは、大きさ（ノルム）が1のベクトルです。
ゼロベクトルを除く任意のベクトル $\mathbf{a}$ に対して、対応する単位ベクトル$\hat{\mathbf{a}}$は以下のように求められます：
$$\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$$
ゼロベクトルを除く任意のベクトル $\mathbf{a}$ に対して、対応する単位ベクトル$\hat{\mathbf{a}}$は以下のように求められます：
$$\hat{\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$$
(5) 様々なベクトル④：位置ベクトル
定義1.5: 位置ベクトル
原点を始点として平面や空間上の点 $P(x, y, z)$ などへのベクトルを特に位置ベクトルと呼び、以下のように表現されます。
$$\mathbf{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$
(6) 様々なベクトル⑤：方向ベクトル
定義1.6: 方向ベクトル
直線や線分と平行なベクトルを方向ベクトルといいます。
2点 $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$ を通る直線の方向ベクトルは以下です。
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \\ z_2 – z_1 \end{pmatrix}$$ また、以下の直線の方程式においては方向ベクトルが$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$で与えられます。 $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$
2点 $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$ を通る直線の方向ベクトルは以下です。
$$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_2 – x_1 \\ y_2 – y_1 \\ z_2 – z_1 \end{pmatrix}$$ また、以下の直線の方程式においては方向ベクトルが$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$で与えられます。 $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$
(7) 様々なベクトル⑥：法線ベクトル
定義1.7: 法線ベクトル
ある直線や平面に対して垂直なベクトルを法線ベクトルといいます。
例えば、直線 $ax + by + c = 0$ に対する法線ベクトルは
$$\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ です。
また、平面 $ax + by + cz + d = 0$ に対する法線ベクトルは
$$\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$ です。
例えば、直線 $ax + by + c = 0$ に対する法線ベクトルは
$$\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ です。
また、平面 $ax + by + cz + d = 0$ に対する法線ベクトルは
$$\mathbf{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$ です。
2. ベクトルの和と差
(1) ベクトル和の定義
定義1.8: ベクトルの和
2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ の和は、対応する成分を足し合わせることで得られます。
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix}$$
ベクトルの加法は、幾何的には平行四辺形の対角線に相当します。
(2) ベクトルの差の定義
定義1.9: ベクトルの差
ベクトルの差は、対応する成分を引くことで表されます。
$$\mathbf{a} – \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 – b_1 \\ a_2 – b_2 \\ \vdots \\ a_n – b_n \end{pmatrix}$$
ベクトルの差 $\mathbf{a} – \mathbf{b}$ は、幾何的には $\mathbf{b}$ の始点と終点を入れ替えたベクトルと $\mathbf{a}$ の和に相当します。
(3) 和(差)の性質
交換法則
$$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$$
証明をみる
$\mathbf{a} = (a_1, …, a_n), \mathbf{b} = (b_1, …, b_n)$ に対して、 $$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1, …, a_n + b_n) = (b_1 + a_1, …, b_n + a_n) = \mathbf{b} + \mathbf{a}$$結合法則
$$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})$$
証明をみる
$$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) + \mathbf{c} = (a_1 + b_1 + c_1, …, a_n + b_n + c_n) = \mathbf{a} + (\mathbf{b} + \mathbf{c})$$4. ベクトルのスカラー倍
(1) スカラーの定義
定義1.10: スカラー
スカラーとは、$1, 3+i$のようなベクトルではない1次元の普通の数を指す言葉で、ベクトルでないことを強調する際に用います。
(2) スカラー倍の定義
定義1.11: ベクトルのスカラー倍
スカラー $\lambda$ によるベクトル $\mathbf{a}$ のスカラー倍は以下のように表されます。
$$\lambda \mathbf{a} = \begin{pmatrix} \lambda a_1 \\ \lambda a_2 \\ \vdots \\ \lambda a_n \end{pmatrix}$$
(3) スカラー倍の性質
結合法則(互換性)
$$\alpha (\beta \mathbf{a}) = (\alpha \beta) \mathbf{a}$$
証明をみる
$$\alpha (\beta a_i) = (\alpha \beta) a_i$$分配法則
$$\alpha(\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \alpha \mathbf{a} + \alpha \mathbf{b}$$
証明をみる
$$\alpha(a_i + b_i) = \alpha a_i + \alpha b_i$$5. ベクトルの内積とノルム
(1) 内積の定義
定義1.12: ベクトルの内積
ベクトル $\mathbf{a} = (a_1, …, a_n)$ と $\mathbf{b} = (b_1, …, b_n)$ の内積は次のように定義されます。
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$
(2) 内積の性質
正値性
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0$
証明をみる
$$\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \geq 0$$線形性
$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
証明をみる
$$\sum_i a_i (b_i + c_i) = \sum_i a_i b_i + a_i c_i$$交換法則
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
証明をみる
$$\sum_i a_i b_i = \sum_i b_i a_i$$零ベクトルとの内積
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{0} = 0$
証明をみる
$$\sum_i a_i \cdot 0 = 0$$(3) 内積のまとめ
(4) ノルムの定義
定義1.13: ノルム
ベクトルのノルムは自身との内積の平方根で定義され、ベクトルの長さや大きさとも呼ばれます。
$$|\mathbf{a}| = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} = \sqrt{\sum_i a_i^2}$$
(5) ノルムの性質
以下の性質があります。
ノルムの性質
以下が成立する。
(6) 内積とノルムに関する定理①：内積とノルムの関係
定理1.14: 内積とノルムの関係
$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$の成す角を$\theta$とすると、内積は以下にように表現できます。 $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$$
証明をみる
原点 $O$、点 $A$（位置ベクトル $\mathbf{a}$）、点 $B$（位置ベクトル $\mathbf{b}$）をとります。三角形 $OAB$ で、辺の長さは$OA=|\mathbf{a}|$、$OB=|\mathbf{b}|$、$AB=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ また、$\angle AOB=\theta$ が $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ のなす角です。 余弦定理より $$ |\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2=|\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta $$ 一方、内積の性質（双線形・対称）から $$ |\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} $$ $$ \phantom{|\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2}=|\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} $$ この二つの式の右辺を比較すると $$ |\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2-2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta $$ 両辺から $|\mathbf{a}|^2+|\mathbf{b}|^2$ を消去して $-2$ で割ると $$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta $$(7) 内積とノルムに関する定理②：2つのベクトルが成す角度
定理1.15: 2つのベクトルが成す角度
2つのベクトルの成す角を以下のように求めることができます。 $$\cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}$$
証明をみる
内積とノルムの関係式を式変形することで得られます。(8) 内積とノルムに関する定理③：三角不等式
定理1.16: 三角不等式
$$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$
証明をみる
$\theta$ を $\mathbf{a},\mathbf{b}$ の成す角とすると $$ \begin{align} |\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 &= (\mathbf{a} + \mathbf{b})\cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \\ &= \mathbf{a}\cdot\mathbf{a} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{b} + 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} \\ &= |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta \\ &\le |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \\ &= (|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|)^2. \end{align} $$ よって同様に結論が従う。等号 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}| = |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$ が成り立つのは $\cos\theta=1$（すなわち $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が**同方向**で非負の実数倍）または一方が零ベクトルのとき。
(9) 内積とノルムに関する定理①：直交の判定
定理1.17: 直交の判定
直交する2つのベクトルの内積は$0$になります。 $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \Leftrightarrow \text{直交}$$
証明をみる
内積とノルムの関係式で$\theta=\pi/2$を代入することで証明できます。6. 外積
(1) 外積の定義
内積は2つのベクトルからスカラーを得る演算ですが、外積は2つのベクトルからベクトルを演算です。
定義1.18: 外積
2つのベクトルの外積は以下のように定義されます。
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{pmatrix}
a_2 b_3 – a_3 b_2 \\
a_3 b_1 – a_1 b_3 \\
a_1 b_2 – a_2 b_1
\end{pmatrix}
$$
(2) 外積の向き
定理:1.19: 外積の向き
$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$の方向は$\mathbf{a}$を$\mathbf{b}$へ重ねるように右ねじを回した際の方向です (回す角度は$\pi$以下)。
外積は$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$が含まれる平面に垂直な方向になります。
証明をみる (成分計算による証明)
$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)^{\mathsf T}$、$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)^{\mathsf T}$ とする。外積の成分は $$ \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1\bigr)^{\mathsf T} $$ まず、(1)$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0$ を示す。 左辺を成分で展開すると $$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=a_1(a_2b_3-a_3b_2)+a_2(a_3b_1-a_1b_3)+a_3(a_1b_2-a_2b_1) $$ 項を並べ替えて同類項をまとめると $$ =a_1a_2b_3-a_1a_3b_2+a_2a_3b_1-a_1a_2b_3+a_1a_3b_2-a_2a_3b_1=0 $$ 相殺してすべて消えるため $0$ である。続いて (2)$\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0$ を示す。
同様に $$ \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=b_1(a_2b_3-a_3b_2)+b_2(a_3b_1-a_1b_3)+b_3(a_1b_2-a_2b_1) $$ これを展開すると $$ =a_2b_1b_3-a_3b_1b_2+a_3b_1b_2-a_1b_2b_3+a_1b_2b_3-a_2b_1b_3=0 $$ やはりすべての項が打ち消し合って $0$ となる。
(1)(2)より $$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0,\quad \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=0 $$ したがって $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方に直交する。
証明をみる (行列式を用いた証明)
スカラー三重積の性質を用いると $$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\det[\mathbf{a},\mathbf{a},\mathbf{b}] $$ となる。行列式は列（または行）が同一なら $0$ なので $$ \det[\mathbf{a},\mathbf{a},\mathbf{b}]=0 $$ 同様に $$ \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\det[\mathbf{b},\mathbf{a},\mathbf{b}]=0 $$ よって直交性がただちに従う。行列の積については以下の記事を参照。
(3) 外積のノルム
定理1.20: 外積のノルム
外積のノルムは以下です。
$$|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin \theta$$
外積の大きさは$\mathbf{a}$と$\mathbf{b}$が作る平行四辺形の面積に相当します。
証明をみる
次の恒等式（ラグランジュの恒等式）を用いる： $$ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2=\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 $$ この式は外積の成分定義から直接展開しても示せるし、行列式の恒等式としても知られている。証明は本証明の最後に導出を載せた。内積の基本公式 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta$ を代入すると $$ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2=\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2-\big(\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta\big)^2 $$ $$ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2=\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2\big(1-\cos^2\theta\big)=\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2\sin^2\theta $$ 両辺は非負なので平方根を取って $$ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\sin\theta $$ が得られる。□
ラグランジュの恒等式の導出 (成分を用いた証明)
$\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})$ を展開すると $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2$ になる。これは成分展開またはベクトル恒等式 $(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{x}\times\mathbf{y})=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{x})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{y})-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{y})(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x})$ の特殊化で示せる。成分展開による証明は以下。
まず、$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$とおく。
(1) 左辺の成分展開
外積の成分は $$ \mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1). $$ よってノルム二乗は $$ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2=(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2. $$ 各項を展開して和をとると $$ \begin{aligned} \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2 &=(a_2^2b_3^2+a_3^2b_2^2-2a_2a_3b_2b_3)\\ &\quad+(a_3^2b_1^2+a_1^2b_3^2-2a_3a_1b_3b_1)\\ &\quad+(a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2)\\ &=a_1^2(b_2^2+b_3^2)+a_2^2(b_3^2+b_1^2)+a_3^2(b_1^2+b_2^2)\\ &\quad-2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_3a_1b_3b_1). \end{aligned} $$ (2) 右辺の成分展開
まず $$ \|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2). $$ 展開すると $$ \begin{aligned} \|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2 &=a_1^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)+a_2^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)+a_3^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\\ &=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_1^2b_3^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_2^2b_3^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_2^2+a_3^2b_3^2. \end{aligned} $$ 次に $$ (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2=(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 =a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2+2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_3a_1b_3b_1). $$ したがって差は $$ \begin{aligned} \|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 &=\big[a_1^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)+a_2^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)+a_3^2(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\big]\\ &\quad-\big[a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2+2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_3a_1b_3b_1)\big]\\ &=a_1^2(b_2^2+b_3^2)+a_2^2(b_1^2+b_3^2)+a_3^2(b_1^2+b_2^2)\\ &\quad-2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_3a_1b_3b_1). \end{aligned} $$ (3) 一致の確認と結論
1) の結果と 2) の最後の式は項ごとに一致する。したがって $$ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2=\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 $$ が成り立つ。これがラグランジュの恒等式の成分計算による証明である。□
ラグランジュの恒等式の導出 (反対称行列（クロス積行列）を用いる証明)
ベクトル $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)^{\mathsf T}$ に対し，クロス積行列（反対称行列） $$ [\mathbf{a}]_\times=\begin{pmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{pmatrix} $$ を定めると，任意の $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^3$ に対して $$ \mathbf{a}\times\mathbf{b}=[\mathbf{a}]_\times\,\mathbf{b} $$ が成り立つ。 まず重要な行列恒等式を示す： $$ [\mathbf{a}]_\times^{\mathsf T}[\mathbf{a}]_\times=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})I-\mathbf{a}\mathbf{a}^{\mathsf T}. $$ これはベクトル三重積の公式 $\mathbf{a}\times(\mathbf{a}\times\mathbf{x})=\mathbf{a}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{x})-\mathbf{x}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})$ を行列形で書くと $$ [\mathbf{a}]_\times^2=\mathbf{a}\mathbf{a}^{\mathsf T}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})I $$ となることから，$[\mathbf{a}]_\times^{\mathsf T}=-[\mathbf{a}]_\times$ を用いて $$ [\mathbf{a}]_\times^{\mathsf T}[\mathbf{a}]_\times=-[\mathbf{a}]_\times^2=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})I-\mathbf{a}\mathbf{a}^{\mathsf T} $$ が従う。 これで $$ \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})=\big([\mathbf{a}]_\times\mathbf{b}\big)^{\mathsf T}\big([\mathbf{a}]_\times\mathbf{b}\big)=\mathbf{b}^{\mathsf T}\big([\mathbf{a}]_\times^{\mathsf T}[\mathbf{a}]_\times\big)\mathbf{b} $$ $$ =\mathbf{b}^{\mathsf T}\big((\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})I-\mathbf{a}\mathbf{a}^{\mathsf T}\big)\mathbf{b}=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{b})-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 $$ となり，求める恒等式が得られる。□行列の積については以下の記事を参照。
(3) 外積の性質
外積は以下の性質を満たします。いずれも成分を用いて証明ができます。
反交換法則
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$$
証明をみる
外積は $$ \mathbf{a}\times\mathbf{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$ と書けます。ここで第2行と第3行$(\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$）を交換すると行列式は符号が反転するので $$ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ b_1 & b_2 & b_3\\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} =-(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) $$ ですが、左辺はまさに $\mathbf{b}\times\mathbf{a}$ です。したがって $$ \boxed{\ \mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\ }. $$ 行列式については以下の記事を参照。分配法則
$$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$$
証明をみる
外積は形式的に $$ \mathbf{a}\times\mathbf{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$ と書ける。第3行に関して行列式は線形なので $$ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & b_3+c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} =\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{a}\times\mathbf{c}. $$ したがって所望の分配法則が成り立つ。行列式については以下の記事を参照。
結合法則
$$(\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$$
証明をみる
外積は形式的に $$ \mathbf{a}\times\mathbf{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$ と書ける。第2行（\(\mathbf{a}\) の行）に関して行列式は線形なので $$ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \lambda a_1 & \lambda a_2 & \lambda a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =\lambda \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =\lambda(\mathbf{a}\times\mathbf{b}). $$ したがって $$ \boxed{\,(\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \times \mathbf{b})\,}. $$ 行列式については以下の記事を参照。(4) 外積に関する定理①：スカラー三重積
定理1.21: スカラー三重積（混合積）
3つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ に対して、以下をスカラー三重積（または混合積）という。 $$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$$ スカラー三重積はスカラーであり、幾何学的には $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ によって張られる平行六面体の符号付き体積を表す。
証明をみる (幾何学的証明)
外積の大きさと方向より $$ |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|=|\mathbf{b}|\,|\mathbf{c}|\,\sin\theta $$ $(\theta$ は $\mathbf{b},\mathbf{c}$ のなす角であり、$\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ は $\mathbf{b},\mathbf{c}$ に直交し、右手系で向きが定まる。ゆえに $$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}\times\mathbf{c}|\,\cos\varphi $$ $(\varphi$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ のなす角）。ここで $$ |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| \ \text{は底面（\(\mathbf{b},\mathbf{c}\)）の面積},\qquad |\mathbf{a}|\,\cos\varphi = \operatorname{proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{a}) $$ （$\mathbf{n}$ は $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ 方向の単位ベクトル）に等しいので、 $$ |\mathbf{a}|\,\cos\varphi \cdot |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|=\text{底面積}\times\text{高さ}=\text{体積}. $$ また符号は、$\{\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\}$ が右手系（正の向き）なら正、左手系（負の向き）なら負として与えられる。したがって $$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) $$ は平行六面体の**符号付き体積**を与える。証明をみる (行列式を用いた証明)
標準基底に関する成分を $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\ \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),\ \mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$ とすると $$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} =:\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]. $$ 行列式は、3本のベクトルから張られる平行六面体の体積の**符号付き**版（3線形性・交代性・単位立方体で値1）を特徴づける唯一の関数である。よって $$ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}] $$ は平行六面体の符号付き体積に等しい。行列式については以下の記事を参照。
(5) 外積に関する定理②：スカラー三重積の巡回対称性
定理1.22: スカラー三重積（混合積）の巡回対称性
以下の性質が成り立ちます。 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) = \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})$
証明をみる
\[ \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}. \] 行列の行を \((1,2,3)\to(2,3,1)\) や \((1,2,3)\to(3,1,2)\) と巡回する操作は 3-巡回置換であり、これは偶置換なので行列式の値は不変。したがって \[ \begin{vmatrix} a\\ b\\ c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b\\ c\\ a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} c\\ a\\ b \end{vmatrix}, \] すなわち \( \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{a}) = \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) \)。行列式については以下の記事を参照。
(6) 外積に関する定理③：ベクトル三重積
定理1.23: ベクトル三重積
以下をベクトル三重積という。 $$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$$ ベクトル三重積はベクトルであり、以下の性質が成り立つ。 $$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$$
証明をみる
ベクトル $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$ とする。まず $\mathbf{b}\times\mathbf{c}$ の成分は外積の定義より $$ \mathbf{b}\times\mathbf{c}= \begin{pmatrix} b_2c_3-b_3c_2\\ b_3c_1-b_1c_3\\ b_1c_2-b_2c_1 \end{pmatrix} $$ である。
次に，$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$ を計算する： $$ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) =\begin{pmatrix} a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3)\\ a_3(b_2c_3-b_3c_2)-a_1(b_1c_3-b_3c_1)\\ a_1(b_3c_1-b_1c_3)-a_2(b_2c_1-b_1c_2) \end{pmatrix}. $$ 各成分を整理する。
(1) 第1成分：
$$ a_2(b_1c_2-b_2c_1)-a_3(b_3c_1-b_1c_3) =a_2b_1c_2-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1+a_3b_1c_3. $$ これを $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$ の第1成分と比較する。 – $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})=a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3$
– $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
したがって，第1成分は $$ (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})b_1-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})c_1 = b_1(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)-c_1(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3) $$ $$ = a_2b_1c_2+a_3b_1c_3 – a_2b_2c_1 – a_3b_3c_1, $$ これは上で計算した第1成分と一致する。
(2) 第2成分：
同様に計算すると $$ a_3b_2c_3-a_3b_3c_2-a_1b_1c_3+a_1b_3c_1 $$ となる。
一方，式 $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})b_2-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})c_2$ の第2成分は $$ b_2(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)-c_2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3) $$ $$ = a_3b_2c_3+a_1b_2c_1 – a_1b_1c_2 – a_3b_3c_2. $$ これも一致する。
(3) 第3成分：
同様に計算すると $$ a_1b_3c_1-a_1b_1c_3-a_2b_2c_1+a_2b_1c_2 $$ となる。
一方，式 $(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})b_3-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})c_3$ の第3成分は $$ b_3(a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3)-c_3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3) $$ $$ = a_1b_3c_1+a_2b_3c_2 – a_1b_1c_3 – a_2b_2c_3, $$ これも一致する。 (1)(2)(3)より3つの成分が全て一致するので $$ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c} $$ が成り立つ。□
(7) まとめ
7. 1次独立と1次従属
(1) 1次独立
定義1.24: 1次独立
ベクトル $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_k$ が 1次独立であるとは、以下の線形結合がゼロベクトルになるとき、すべての係数が 0 に限ることを言います。
$$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + c_k \mathbf{a}_k = \mathbf{0} \Rightarrow c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$$
すなわち、ベクトル同士が互いに冗長でなく、それぞれが独立した方向を持つこと(=どんな2つのベクトルも平行ではないこと)を意味します。
なお、2つのベクトルが1次独立の場合、$\mathbf{a} /\!/\!\!\!\!\backslash\, \mathbf{b}$と表記することがあります。
なお、2つのベクトルが1次独立の場合、$\mathbf{a} /\!/\!\!\!\!\backslash\, \mathbf{b}$と表記することがあります。
(2) 1次従属
定義1.25: 1次従属
ベクトル $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_k$ が 1次従属であるとは、ゼロでない係数を用いた線形結合がゼロベクトルになる場合です。
$$c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + c_k \mathbf{a}_k = \mathbf{0}, \quad \text{ただし } \exists i \text{ such that } c_i \neq 0$$
つまり、少なくとも1つのベクトルが他のベクトルの線形結合として表されることを意味します。
なお、2つのベクトルが1次独立の場合、$\mathbf{a} /\!/ \mathbf{b}$と表記することがあります。
なお、2つのベクトルが1次独立の場合、$\mathbf{a} /\!/ \mathbf{b}$と表記することがあります。
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