射影

セットアップ

• $\mathrm{Im}\,P$ の基底を $e_1,\dots,e_r$（$r=\operatorname{rank}P$）、$\ker P$ の基底を $f_1,\dots,f_{n-r}$ とる。
• 列を並べた行列を

$$ S=[\,e_1\ \cdots\ e_r\ f_1\ \cdots\ f_{n-r}\,] =:[\,E\ \ F\,],\quad E\in\mathbb{F}^{n\times r},\ F\in\mathbb{F}^{n\times(n-r)} $$

とおく。基底なので $S$ は可逆。

射影の作用

• $e_j\in\mathrm{Im}\,P$ だから 定理11.4より$P e_j=e_j$（射影の性質 $P^2=P$ より）。
• $f_k\in\ker P$ だから $P f_k=0$。

これを行列でまとめると

$$ P E=E,\qquad P F=0. $$

ブロック計算

上の等式を列結合に適用して

$$ P S=P[\,E\ \ F\,]=[\,P E\ \ P F\,]=[\,E\ \ 0\,]. $$

一方で

$$ S\begin{pmatrix}I_r&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix} =[\,E\ \ F\,]\begin{pmatrix}I_r&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix} =[\,E\cdot I_r\ \ E\cdot 0+F\cdot 0\,]=[\,E\ \ 0\,]. $$

よって

$$ P S=S\begin{pmatrix}I_r&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix}. $$

両辺に左から $S^{-1}$ を掛ければ

$$ S^{-1} P S=\begin{pmatrix}I_r&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix}. $$

1) 和として全体を張る（$V=\operatorname{Im}P+\ker P$）

任意の $x\in V$ に対して $$x = Px + (x-Px)$$ と分解できます。ここで

• $Px\in\operatorname{Im}P$ は定義から明らか、
• $x-Px\in\ker P$ は $$P(x-Px)=Px-P^2x=Px-Px=0$$ より従います。

したがって $x$ は $\operatorname{Im}P$ の元と $\ker P$ の元の和として書け、ゆえに $$V=\operatorname{Im}P+\ker P.$$

2) 交わりが自明（$\operatorname{Im}P\cap\ker P=\{0\}$）

$v\in\operatorname{Im}P\cap\ker P$ とする。$\mathbf{v} \in \mathrm{Im}P$だから、ある $u\in V$ が存在して $v=Pu$。また、$\mathbf{v} \in \mathrm{Ker}P$だから、$Pv=0$。ところが

$$v = Pu \ \Longrightarrow\ Pv=P(Pu)=P^2u=Pu=v.$$

一方で $Pv=0$ なので $v=0$。ゆえに交わりは $\{0\}$ です。

結論（直和）

1) で和が全体を張り、2) で交わりが自明なので、 $$V=\operatorname{Im}P\ \oplus\ \ker P$$ が成立します。■

補足（逆も成り立つ）

逆に、部分空間 $U,W\subset V$ が $V=U\oplus W$ を満たすとき、「$U$ への射影（$W$ に沿う）」を

$$P(u+w)=u\qquad(u\in U,\ w\in W)$$

で定めると、これは線形で $P^2=P$、しかも $$\operatorname{Im}P=U,\qquad \ker P=W.$$ したがって「$P$ が冪等 $\Leftrightarrow$ $V$ が像と核に直和分解」という対応が得られます。

包含1：$\operatorname{Im}P\subset\ker(P-I)$

$y\in\operatorname{Im}P$ とすると、ある $x\in V$ が存在して $y=Px$。したがって

$$ (P-I)y=P(Px)-Px=P^2x-Px=0, $$

ゆえに $y\in\ker(P-I)$。

包含2：$\ker(P-I)\subset\operatorname{Im}P$

$y\in\ker(P-I)$ ならば $(P-I)y=0$、すなわち $Py=y$。このとき

$$ y=Py\in\operatorname{Im}P. $$

結論

以上の二包含より $$\operatorname{Im}P=\ker(P-I)$$ が従います（解釈：射影の像は固有値 $1$ の固有空間に等しい）。

定理11.5より射影行列は対角化可能で、ある可逆行列 $S$ と整数 $r$（$0\le r\le n$）が存在して

$$S^{-1}PS \;=\; D \;:=\; \operatorname{diag}(I_r,\;0_{n-r})$$

と書けます。ここで $D$ の対角には固有値 $1$ が $r$ 回、固有値 $0$ が $n-r$ 回現れます。よって $r$ は固有値 $1$ の代数的重複度です。

ステップ1：$\ker(P-I)$ と $\ker(D-I)$ の対応

任意の $v\in\mathbb{F}^n$ について

$$(P-I)v=0 \;\Longleftrightarrow\; (SDS^{-1}-I)v=0 \;\Longleftrightarrow\; S(D-I)S^{-1}v=0.$$

左から $S^{-1}$ を掛けて $w:=S^{-1}v$ とおくと

$$(D-I)w=0 \;\Longleftrightarrow\; w\in\ker(D-I).$$

これは可逆写像 $v\mapsto w=S^{-1}v$ による対応なので

$$\ker(P-I)=S\bigl(\ker(D-I)\bigr), \qquad \dim\ker(P-I)=\dim\ker(D-I).$$

ステップ2：$\ker(D-I)$ を直接計算

$D=\operatorname{diag}(I_r,0_{n-r})$ だから

$$D-I=\operatorname{diag}(0_r,\,-I_{\,n-r}).$$

ベクトルをブロック分割して $\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$（$x\in\mathbb{F}^r,\ y\in\mathbb{F}^{n-r}$）と書くと

$$ (D-I)\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0_r\,x\\[2pt] -I_{\,n-r}\,y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2pt] -y \end{pmatrix}. $$

したがってゼロになる条件は $y=0$ のみであり、

$$\ker(D-I)=\{(x,0)\;:\;x\in\mathbb{F}^r\}, \qquad \dim\ker(D-I)=r.$$

ステップ3：結論と解釈

以上より

$$\dim\ker(P-I)=\dim\ker(D-I)=r.$$

ここで $r$ は $D$ の対角に現れる固有値 $1$ の個数、すなわち $P$ の固有値 $1$ の代数的重複度に等しい。ゆえに

$$\boxed{\ \dim\ker(P-I)=\text{固有値 }1\text{ の個数（代数的重複度）}\ }.$$

① $\mathrm{rank}(P)$は$P$の固有値の数と等しい

定理11.7と11.8より

$$\mathrm{Im}(P)=\ker(P-I)=m$$

定理9.11より

$$\operatorname{rank}(P)=\dim\mathrm{Im}(P)=m$$

② トレースは固有値の和

定理11.5より$P$は対角化可能なので

$$\operatorname{tr}(P)=\text{（固有値の和）}= \underbrace{1+\cdots+1}_{m\ \text{個}}+\underbrace{0+\cdots+0}_{n-m\ \text{個}}=m.$$

一方で ①② より

$$\operatorname{tr}(P)=\operatorname{rank}(P).$$

補足メモ

• これは直交射影に限らず、一般の（斜交）射影 $P^2=P$ でも成立。
• 体は $0\neq 1$ を満たす任意の体でよい。

• 射影 $P_i$ は $\operatorname{Im}(P_i)=\ker(A-\lambda_i I)$ に射影し，核は $$\ker(P_i)=\bigoplus_{\mu\ne \lambda_i}\ker(A-\mu I)$$ を満たす（固有空間分解に沿う射影）。
• 任意の $v$ に対し，まず $P_j v \in \operatorname{Im}(P_j)=\ker(A-\lambda_j I)$。
• $\lambda_i\ne\lambda_j$ より，$\ker(A-\lambda_j I)\subset \ker(P_i)$。

ゆえに任意の $v$ について $$P_iP_j v = P_i\bigl(P_j v\bigr)=0,$$ すなわち $P_iP_j=0$ が従う。

• $A$ が対角化可能で $A=PDP^{-1}$（$D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$）とする。
• 定理11.18から$\lambda_i$ に対応する射影は $$P_i=Pl_i(D)P^{-1}$$ で与えられる（$l_i$ はラグランジュ基底多項式で $l_i(\lambda_i)=1,\ l_i(\lambda_k)=0\ (k\ne i)$）。
• $l_i(D)=E_i$ は対角行列で，$\lambda_i$ に対応する成分のみ 1，他は 0。異なる $i\ne j$ では $$E_iE_j=0.$$

したがって $$P_iP_j = P E_i P^{-1}\, P E_j P^{-1} = P\,(E_iE_j)\,P^{-1} = 0.$$

相異なる節点 $\{\lambda_i\}$ に対するラグランジュ基底多項式 $\ell_i(t)$ を

$$\ell_i(\lambda_j)=\delta_{ij},\qquad \deg \ell_i\le r-1$$

として定める。定理11.18から射影は

$$P_i \;=\; \ell_i(A)$$

で与えられる（機能的計算／補間多項式）。このとき

$$\sum_{i=1}^r P_i =\sum_{i=1}^r \ell_i(A) =\Bigl(\sum_{i=1}^r \ell_i\Bigr)(A).$$

ところが $\sum_{i=1}^r \ell_i(t)\equiv 1$（ラグランジュ多項式の“分割の一”）。実際，

$$q(t):=\sum_{i=1}^r \ell_i(t)-1$$

は次数 $\le r-1$ の多項式で，すべての $\lambda_j$ で $q(\lambda_j)=0$（零が $r$ 個）ゆえに恒等的に 0。したがって

$$\sum_{i=1}^r P_i =\bigl(\sum_{i=1}^r \ell_i\bigr)(A) =1(A)=I.$$