線形写像

1. 線形写像・線形変換

(1) 線形写像の定義

具体例をみる

具体例（丁寧な説明）：$V=W=\mathbb{R}^2$ とし、$f(x,y)=(2x,\,3y)$ と定める。

1. 加法保持の確認
任意の $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2$ について $$ \begin{aligned} f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big) &= f(x_1+x_2,\,y_1+y_2) \\ &= (2(x_1+x_2),\,3(y_1+y_2)) \\ &= (2x_1,3y_1)+(2x_2,3y_2) \\ &= f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2). \end{aligned} $$ 2. スカラー倍保持の確認
任意の $k\in\mathbb{R}$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ について $$ f\big(k(x,y)\big)=f(kx,\,ky)=(2kx,\,3ky)=k(2x,\,3y)=k\,f(x,y). $$ よって $f$ は線形写像である。
（参考：非線形の例として $g(x,y)=(x^2,y)$ を考えると、$g((1,0)+(1,0))=(4,0)$ だが $g(1,0)+g(1,0)=(1,0)+(1,0)=(2,0)$ で一致しないので線形ではない。）

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(2) 線形変換の定義 (再掲)

以下の記事で扱った第4章の定義4.7と同じです。

行列の応用

1. ケーリー・ハミルトンの定理(1) 特性方程式定義4.1: 特性方程式2 次正方行列$$A=\begin{pmatrix}a&b\ c&d\end{pmatrix}$$に対して、特性方程式とは次の多項式方程式のことをいう：$$\det...

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2025.08.09

具体例をみる

$V=\mathbb{R}^2$ とし、$T(x,y)=(x+y,\ x-3y)$ と定める。 加法とスカラー倍を順に確認する： $$ \begin{aligned} T((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) &=T(x_1+x_2,\,y_1+y_2)\\ &=(x_1+x_2+y_1+y_2,\ x_1+x_2-3y_1-3y_2)\\ &=(x_1+y_1,\,x_1-3y_1)+(x_2+y_2,\,x_2-3y_2)\\ &=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2),\\[4pt] T\big(k(x,y)\big) &=T(kx,ky)=(kx+ky,\ kx-3ky)=k(x+y,\ x-3y)=k\,T(x,y). \end{aligned} $$ よって $T$ は線形変換。

なお、表現行列は $$ A=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&-3\end{pmatrix},\quad T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}. $$

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(3) 表現行列 (再掲)

以下の記事で扱った第4章の定義4.8と同じです。

行列の応用

1. ケーリー・ハミルトンの定理(1) 特性方程式定義4.1: 特性方程式2 次正方行列$$A=\begin{pmatrix}a&b\ c&d\end{pmatrix}$$に対して、特性方程式とは次の多項式方程式のことをいう：$$\det...

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具体例をみる

$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\ T(x,y)=(2x+y,\ x-3y)$。標準基底 $\mathbf{e}_1=(1,0),\ \mathbf{e}_2=(0,1)$ に対して $$ T(\mathbf{e}_1)=(2,1),\quad T(\mathbf{e}_2)=(1,-3). $$ よって表現行列は $$ A=\big[\,T(\mathbf{e}_1)\ \ T(\mathbf{e}_2)\,\big] =\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&-3\end{pmatrix}. $$

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(4) 核 ($\mathrm{Ker}$)の定義

具体例をみる

$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[2pt]0&1&4\end{pmatrix}$ とし、$\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\mid A\mathbf{x}=\mathbf{0}}$ を求める。
方程式系は $$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2+4x_3=0 \end{cases} \Rightarrow x_2=-4t,\ x_1=-2x_2-3x_3=8t-3t=5t,\ x_3=t. $$ よって $$ \mathrm{Ker}\,A=\mathrm{span}\{(5,\ -4,\ 1)\}. $$

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(5) 像 ($\mathrm{Im}$)の定義

具体例をみる

上と同じ $A$ を考える。$A$ の列ベクトルを $$ \mathbf{a}_1=(1,0)^{\mathsf T},\quad \mathbf{a}_2=(2,1)^{\mathsf T},\quad \mathbf{a}_3=(3,4)^{\mathsf T} $$ とすると $$ \mathrm{Im}\,A=\mathrm{span}\{\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3\}. $$ ただし $\mathbf{a}_3$ は $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2$ の線形結合で表せる。実際、$(3,4)^{\mathsf T}=-5(1,0)^{\mathsf T}+4(2,1)^{\mathsf T}$。
したがって $$ \mathrm{Im}\,A=\mathrm{span}\{(1,0)^{\mathsf T},\ (2,1)^{\mathsf T}\},\qquad \dim(\mathrm{Im}\,A)=2. $$ （別解）行基本変形で $$ \begin{pmatrix}1&2&3\\[2pt]0&1&4\end{pmatrix} \ \xrightarrow{C_3\leftarrow C_3-2C_2}\ \begin{pmatrix}1&2&-5\\[2pt]0&1&0\end{pmatrix} $$ とすると、独立な列は第1・第2列であり、像の基底はこれらに対応する列ベクトルで与えられる。

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2. 同型写像の基本定理

(1) 同型の定義

具体例をみる

$\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{C}$は同型であることを示す。

$\mathbb{C}$ を 実ベクトル空間 として考える（スカラーは $\mathbb{R}$）。写像 $$ \phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{C},\qquad \phi(a,b)=a+bi $$ を定める。任意の $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in\mathbb{R}^2$, $k\in\mathbb{R}$ に対し $$ \phi\big((a_1,b_1)+(a_2,b_2)\big)=\phi(a_1+a_2,\,b_1+b_2)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i=\phi(a_1,b_1)+\phi(a_2,b_2), $$ $$ \phi\big(k(a,b)\big)=\phi(ka,\,kb)=ka+kbi=k(a+bi)=k\,\phi(a,b). $$ よって線形。全単射性は逆写像 $$ \psi:\mathbb{C}\to\mathbb{R}^2,\qquad \psi(x+yi)=(x,y) $$ を与えることで従う（$\psi$ も実線形であり $\psi\circ\phi=\mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}$, $\phi\circ\psi=\mathrm{id}_{\mathbb{C}}$）。従って $\mathbb{R}^2\cong\mathbb{C}$（実ベクトル空間として）。

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(2) 同型写像の定義

(3) ベクトル空間に関する定理(11)：同型写像の基本定理

証明をみる

（$\Rightarrow$）$V\cong W$ とする。すなわち線形全単射 $T:V\to W$ が存在する。
$T$ は単射なので $\mathrm{Ker}\,T={\mathbf{0}}$。よって定理9.10の階数・退化度の定理より $$ \dim V=\dim(\mathrm{Ker}\,T)+\dim(\mathrm{Im}\,T)=0+\dim(\mathrm{Im}\,T)=\dim(\mathrm{Im}\,T). $$ さらに $T$ は全射なので $\mathrm{Im}\,T=W$。したがって $\dim V=\dim W$。

（$\Leftarrow$）$\dim V=\dim W=n$ とする。$V$ の基底 ${\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n}$ と $W$ の基底 ${\mathbf{w}_1,\dots,\mathbf{w}_n}$ を取る。写像 $T:V\to W$ を $$ T\Big(\sum_{j=1}^n \alpha_j\mathbf{v}_j\Big)=\sum_{j=1}^n \alpha_j\mathbf{w}_j $$ と定めると、これは線形写像で、$T(\mathbf{v}_j)=\mathbf{w}_j$ が成り立つ。基底を基底に移すため $T$ は単射かつ全射（任意の $\mathbf{w}\in W$ は一意に $\sum \alpha_j\mathbf{w}_j$ と書け、それは $T(\sum \alpha_j\mathbf{v}_j)$ である）。よって $T$ は同型写像。$\square$

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3. 線形写像の基本定理

(1) ベクトル空間に関する定理(12)：線形写像の基本定理① (第一同型定理)

証明をみる

自然な商写像 $\pi:V\to V/\mathrm{Ker}\,f,\ \pi(\mathbf{v})=\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f$ を用いる。写像 $$ \tilde{f}:V/\mathrm{Ker}\,f\to \mathrm{Im}\,f,\qquad \tilde{f}(\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f)=f(\mathbf{v}) $$ を定める。

1. well-defined：$\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f=\mathbf{v}’+\mathrm{Ker}\,f$ なら $\mathbf{v}’-\mathbf{v}\in\mathrm{Ker}\,f$、よって $f(\mathbf{v}’)-f(\mathbf{v})=f(\mathbf{v}’-\mathbf{v})=\mathbf{0}$。したがって $f(\mathbf{v}’)=f(\mathbf{v})$。
2. 線形性：$\tilde{f}((\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f)+(\mathbf{u}+\mathrm{Ker}\,f))=\tilde{f}(\mathbf{v}+\mathbf{u}+\mathrm{Ker}\,f)=f(\mathbf{v}+\mathbf{u})=f(\mathbf{v})+f(\mathbf{u})$。スカラー倍も同様。
3. 全射：任意の $\mathbf{y}\in\mathrm{Im}\,f$ は $\mathbf{y}=f(\mathbf{v})$ と書け、$\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f$ が像に送られる。
4. 単射：$\tilde{f}(\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f)=\mathbf{0}$ なら $f(\mathbf{v})=\mathbf{0}$、すなわち $\mathbf{v}\in\mathrm{Ker}\,f$。ゆえに $\mathbf{v}+\mathrm{Ker}\,f=\mathrm{Ker}\,f$（零元）。

よって $\tilde{f}$ は同型。$\square$

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(2) ベクトル空間に関する定理(13)：線形写像の基本定理② (階数・退化度の定理)

証明をみる

定理9.9 より $V/\mathrm{Ker}\,f\cong \mathrm{Im}\,f$。同型なら次元は等しいから $$ \dim\big(V/\mathrm{Ker}\,f\big)=\dim(\mathrm{Im}\,f). $$ 一方、定理8.20より商空間の次元は $\dim V-\dim(\mathrm{Ker}\,f)$ である（剰余類の標準事実）。ゆえに主張が従う。$\square$

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(3) ベクトル空間に関する定理(14)：次元定理①

証明をみる

$\mathrm{rank}\,A$ を「列空間（$A$ の列ベクトル全体の張る空間）の次元」と定義すれば、これはまさに $T_A$ の像 $\mathrm{Im}\,A$ の次元である（$T_A(\mathbf{x})=\sum x_j\mathbf{a}_j$ と列ベクトル $\mathbf{a}_j$ の線形結合で表される）。したがって等しい。$\square$

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(4) ベクトル空間に関する定理(15)：次元定理②

証明をみる

$T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ に 定理9.10と定理9.11 を適用すれば $$ \dim\mathbb{F}^n-\dim(\mathrm{Ker}\,A)=\dim(\mathrm{Im}\,A)=\mathrm{rank}\,A $$ であり、$\dim\mathbb{F}^n=n$ より $\dim(\mathrm{Ker}\,A)=n-\mathrm{rank}\,A$。$\square$

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(5) ベクトル空間に関する定理(16)：可逆変換と次元

証明をみる

$T:V\to W$ が線形同型なら 定理9.8 より $\dim V=\dim W$。特に $T:V\to V$ が可逆なら、$T$ は $V$ を同型として自分へ移すので次元は当然不変である。$\square$

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4. 正則と同値な条件

$n$ 次正方行列 $A$ について次は同値：

1. $A$ が正則（可逆）
2. $\det A\neq 0$
3. $\mathrm{rank}\,A=n$
4. $\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{0}}$
5. $A$ の列ベクトルが線形独立
6. $A$ の行ベクトルが線形独立
7. $A$ の固有値に $0$ がない

(1) 正則に関する定理(1)：正則と行列式の関係

証明をみる

($\Rightarrow$) $A$ が可逆なら $AA^{-1}=I$。行列式の性質より $\det A\cdot\det A^{-1}=\det I=1$。したがって $\det A\neq 0$。

($\Leftarrow$) $\det A\neq 0$ なら随伴行列 $\mathrm{adj}(A)$ が存在し $$ A\,\mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\,A=(\det A)I $$ が成り立つ。両辺を $\det A$ で割ると $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,\mathrm{adj}(A)$ が得られ、$A$ は可逆。

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(2) 正則に関する定理(2)：正則とランクの関係

証明をみる

($\Rightarrow$) $A$ 可逆なら写像 $T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n$ は全単射。特に全射なので像は $\mathbb{F}^n$、よって $\dim(\mathrm{Im}\,A)=n$。定理9.11より $\mathrm{rank}\,A=n$。

($\Leftarrow$) $\mathrm{rank}\,A=n$ なら像の次元が $n$、したがって $\mathrm{Im}\,A=\mathbb{F}^n$。$T_A$ は全射で、有限次元では全射 $\Rightarrow$ 単射（定理9.12 から $\dim(\mathrm{Ker}\,A)=n-\mathrm{rank}\,A=0$）。よって全単射、すなわち可逆。

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(3) 正則に関する定理(3)：正則と核($\mathrm{Ker}$)の関係

証明をみる

($\Rightarrow$) $A$ 可逆なら $A\mathbf{x}=\mathbf{0}\Rightarrow \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}$。

($\Leftarrow$) $\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{0}}$ は単射を意味する。有限次元で $T_A:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^n$ が単射なら 定理9.11 より $\dim(\mathrm{Im}\,A)=n$、したがって全射でもあり、全単射 $\Rightarrow$ 可逆。

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(4) 正則に関する定理(4)：正則と線形独立の関係

証明をみる

列ベクトル $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_n$ に対し $A\mathbf{x}=\sum_{j=1}^n x_j\mathbf{a}_j$。 $\mathrm{Ker}\,A={\mathbf{0}}$ と列の独立性は同値（$\sum x_j\mathbf{a}_j=\mathbf{0}$ の唯一解が $x_j=0$ であること）。 よって定理9.16により題意成立。

行ベクトルの独立性は $A^{\mathsf T}$ の列ベクトルの独立性に等しい。
$A$が可逆 $\Rightarrow A^{\mathsf T}$ も可逆（$(A^{\mathsf T})^{-1}=(A^{-1})^{\mathsf T}$）。
これを $A^{\mathsf T}$ に適用すれば、$A^{\mathsf T}$ の列（＝$A$ の行）が独立 $\Leftrightarrow A^{\mathsf T}$が可逆 $\Leftrightarrow A$が可逆。従って 題意成立。

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(5) 正則に関する定理(4)：正則と固有値の関係

証明をみる

($\Rightarrow$) $A$ 可逆なら $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ の非零解は存在しない。もし $0$ が固有値なら $A\mathbf{x}=0\cdot \mathbf{x}=\mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ が存在し可逆性に矛盾。

($\Leftarrow$) 逆に $A$ が可逆でないとき $\mathrm{Ker}\,A\neq{\mathbf{0}}$ なので $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ で $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$、すなわち固有値 $0$ を持つ。よって「$0$ が固有値でない」ことと可逆は同値。

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