固有値と固有ベクトル

行列の用意

次の実行列 $A$ を扱います。

ステップ1：特性多項式と固有値

特性多項式は $\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$ です。

したがって固有値は $\lambda=2$（重複度2）、$\lambda=3$（重複度1）。

ステップ2：固有空間の計算

（a）$\lambda=2$ の固有ベクトル

$(A-2I)\,x=0$ を解く。方程式は $y=0$、$-x+y+z=0$（すなわち $z=x$）。 よって一次独立な解は

これが $\lambda=2$ の固有ベクトル（固有空間は一次元）。

（b）$\lambda=3$ の固有ベクトル

$(A-3I)\,x=0$ を解くと $-x+y=0$、$-y=0$ から $x=y=0$、$z$ は自由。 したがって

が $\lambda=3$ の固有ベクトル（固有空間は一次元）。

ステップ3：$\lambda=2$ の一般化固有ベクトル（長さ2のジョルダン鎖）

$\lambda=2$ の代数的重複度は2ですが固有空間は一次元なので、 サイズ2のジョルダン細胞が1つ現れます。 そのため、$(A-2I)w=v$ を満たすベクトル $w$（一般化固有ベクトル）を求めます。

成分で書くと $y=1$、$-x+y+z=1$。 簡単のため $x=0,\ z=0$ と選べば $y=1$ を満たします。よって

すると $$A v=2v,\qquad A w=2w+v$$ が成り立ち、 $(v,w)$ は $\lambda=2$ に対する長さ2のジョルダン鎖をなします。

ステップ4：ジョルダン基底・変換行列 $P$・標準形 $J$

ジョルダン基底として、鎖の順（固有→一般化）で $\{v,w\}$、 および $\lambda=3$ の固有ベクトル $u$ を並べます。

この基底に関する $A$ の表現は、列ベクトルの対応 $$A v=2v,\quad A w=v+2w,\quad A u=3u$$ より、

となり、確かにジョルダン標準形（$\lambda=2$ のジョルダン細胞 $J_2(2)$ と、 $\lambda=3$ のサイズ1細胞）が得られます。

検算（$AP=PJ$）

列ごとに確認します：

• 第1列：$A v=2v=$ 第1列の $P$ に $J$ の第1列 $(2,0,0)^\top$ を作用 → 一致。
• 第2列：$A w=v+2w=$ 第2列の $P$ に $J$ の第2列 $(1,2,0)^\top$ を作用 → 一致。
• 第3列：$A u=3u=$ 第3列の $P$ に $J$ の第3列 $(0,0,3)^\top$ を作用 → 一致。

まとめ

• $\chi_A(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda-2)^2$、 幾何的重複度 $\dim\ker(A-2I)=1$ より、 $\lambda=2$ に対してサイズ2のジョルダン細胞が1つ。
• 固有ベクトル $v=(1,0,1)^\top$、 一般化固有ベクトル $w=(0,1,0)^\top$、 $\lambda=3$ の固有ベクトル $u=(0,0,1)^\top$ を並べた $P$ により、 $$J=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$$ を得た。

ベクトル空間 $V=F^n$ 上の線形写像 $T:V\to V$ を $A$ の作用として考える（$T$ の行列表現が $A$）。

1. 基底の取り方：固有ベクトルを先頭に置く
   特性多項式が分解する仮定より、$T$ は固有値 $\lambda_1\in F$ と固有ベクトル $v_1\ne 0$ をもつ（$T(v_1)=\lambda_1 v_1$）。$v_1$ を先頭にして基底に延長する：
   $$\mathcal{B}=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}.$$
   この基底に関する $T$ の行列表現を $\tilde A=[T]_{\mathcal{B}}$ とする。
2. この基底での行列表現はブロック上三角になる
   まず
   $$T(v_1)=\lambda_1 v_1\quad\Rightarrow\quad\tilde A\text{ の第1列}=\begin{pmatrix}\lambda_1\\0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}.$$
   一方、$j\ge 2$ に対しては
   $$T(v_j)=\alpha_{1j}v_1+\sum_{i=2}^n \alpha_{ij}v_i.$$
   したがって $\tilde A$ は
   $$\tilde A=\begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{pmatrix}$$
   という形（左下ブロックが $0$ のブロック上三角形）になる。ここで $A_1$ は $T$ が商空間 $V/\langle v_1\rangle$ に誘導する作用（あるいは $v_1$ を除いた基底部分に対する作用）の $(n-1)\times(n-1)$ 行列表現。
3. 帰納法の適用
   次元 $n=1$ は自明。$n-1$ 次で定理が成り立つと仮定すると、$A_1$ は同じ体 $F$ 上で上三角化できる。すなわち、可逆な $(n-1)\times(n-1)$ 行列 $S$ が存在して
   $$S^{-1}A_1S=\text{上三角行列}$$
   となる。
4. 全体の相似変換に組み込む
   ブロック対角の可逆行列
   $$Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&S\end{pmatrix}$$
   を用いると
   $$Q^{-1}\tilde A\,Q=\begin{pmatrix} \lambda_1 & *\\ 0 & S^{-1}A_1S \end{pmatrix}$$
   は、右下ブロックが上三角、左上はスカラー $\lambda_1$、左下は $0$ なので全体として上三角行列である。
5. 元の $A$ への戻し
   基底変換行列 $P=[v_1\,v_2\,\dots\,v_n]$ は可逆で、$P^{-1}AP=\tilde A$。よって
   $$(PQ)^{-1}A(PQ)=Q^{-1}\tilde A\,Q$$
   は上三角行列。これで $A$ が上三角化できることが示された。□

補足2：反例（分解しない場合）

体が $\mathbb{R}$、行列が回転行列 $$R=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\quad(0<\theta<\pi,\ \theta\ne\pi/2)$$ などでは、固有値が実数に存在しない（複素数にしかない）ため、$\mathbb{R}$ 上では三角化できません（ただし $\mathbb{C}$ 上に拡張すれば可能）。

目標

具体的な $3\times3$ 行列を一つ取り、その行列を基底の取り替え（相似変換）で上三角化する過程を、固有値・固有ベクトルから丁寧に示します。対角化できればそれは上三角化の特別な場合（対角は上三角）です。

ステップ0：行列の用意（コンパニオン行列の具体例）

次の $A$ を扱います。これは多項式 $x^3-6x^2+11x-6$ に対応するコンパニオン行列で、固有値が $1,2,3$ と分かれているため対角化が可能です。

ステップ1：特性多項式と固有値の計算

特性多項式は $\det(\lambda I-A)$ です。ここでは行列式を展開して求めます。

因数分解すると

ゆえに固有値は $1,2,3$ です。

ステップ2：固有ベクトルの構成と検算

このタイプの行列（コンパニオン行列）では、各固有値 $\lambda$ に対して

が固有ベクトルになることが知られています。実際に $A v(\lambda)=\lambda v(\lambda)$ を確認します：

右辺の最下段が $\lambda^3$ に等しければ良いのですが、固有値 $\lambda$ は特性多項式の根なので

よって $Av(\lambda)=\lambda v(\lambda)$ が成り立ちます。

具体的に、三つの固有値に対する固有ベクトルを選びます：

ステップ3：基底行列 $P$ と対角行列（上三角行列）$D$ の構成

固有ベクトルを列に並べて基底変換行列 $P$ を作り、固有値を対角に並べた $D$ を作ります。

まず $P$ が可逆（列が一次独立）であることを確認しておきます（行列式を計算）：

ステップ4：$AP=PD$ を確かめ、$P^{-1}AP=D$ を結論する

各列について $A v_i=\lambda_i v_i$ が成立するので、列をまとめれば

となります。$P$ は可逆なので、両辺の左から $P^{-1}$ を掛けて

を得ます。右辺 $D$ は対角行列であり、もちろん上三角行列です。これにより、$A$ は相似変換で上三角化（実際は対角化）できることが明示的に示されました。

ステップ5：まとめ（上三角化の要点）

• 固有値が体上に揃い（ここでは $1,2,3$）、固有ベクトルが一次独立なら、$P$ を固有ベクトルで作って $P^{-1}AP=D$ とできる。
• $D$ は対角行列なので、特に「上三角化」にもなっている。
• 今回は $P$ の可逆性も行列式で具体的に確認した（$\det P=2\ne0$）。